• Beitrags-Kategorie:Mathematik
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Um was geht es?

In praktisch allen Wissenschaften, in denen die Mathematik eine Rolle spielt, geht es um Zusammenhänge zwischen verschiedenen Eigenschaften, die die Objekte der jeweiligen Wissenschaft charakterisieren. Beispiele:

  1. Mathematik: Wie hängt die Fläche F eines Kreises von seinem Radius r ab?
  2. Physik: Wie beeinflusst die Geschwindigkeit eines Planeten seine Wegstrecke beim Umlauf um die Sonne?
  3. Wirtschaftswissenschaft: Wie beeinflusst das Einkommen einer Familie den Anteil an Bio-Lebensmitteln, die sie kauft?
  4. Stadtplanung: Wie hat sich die Einwohnerzahl über die letzten 10 Jahre entwickelt?

Zur formalen Beschreibung solcher Fragen bzw. Zusammenhänge werden mathematische Funktionen benutzt. In diesem Beitrag werden wir uns anschauen, was Funktionen aus mathematischer Sicht sind, welche Grundtypen von Funktionen es gibt und wie sie dargestellt werden können.

  1. Was ist eine Funktion in der Mathematik?
  2. Darstellungsarten von Funktionen
  3. Funktionsgraphen
  4. Was bleiben soll…
  5. Ausblick

Was ist eine Funktion in der Mathematik?

Wenn man zwei Mengen hat und jedes Element der einen Menge (Definitionsmenge) mit einem Element der anderen Menge (Wertemenge) gepaart (zugeordnet) wird, nennt man diese Zuordnung eine Funktion. Man sagt auch: „Eine Funktion ist eine Abbildung der Definitionsmenge auf die Wertemenge.“

In Beispiel 4 sind die Einwohnerzahlen die Definitionsmenge und die Jahreszahlen die Wertemenge. In Beispiel 1 wird jedem Kreisradius (Definitionsmenge) eine Fläche zugeordnet (Wertemenge).

 

Zuordnung Definitionsmenge zu Wertemenge
Abb.1: Abbildung Definitionsmenge auf Wertemenge

Es gibt noch eine Menge anderer Ausdrucksweisen, die allesamt dasselbe aussagen; Beispiel Kreisfläche:

  • Die Fläche hängt vom Radius ab.
  • Die Fläche ist eine Funktion des Radius.
  • \(F=F(r)\); gesprochen: „F ist gleich F von r“
In der Mathematik ist insbesondere die letzte Möglichkeit beliebt (die Mathematiker mögen keine langen Beschreibungen und setzen vielmehr auf Abkürzungen…).

All dies sagt nur aus, dass die Kreisfläche (irgendwie) vom Radius abhängt (und nicht von der Farbe der Fläche oder wo er auf Papier gezeichnet wurde). Es sagt noch nicht, wie sie das tut. Das wird erst durch eine konkrete Flächenformel erreicht.\[F(r)=\pi\cdot r^2\]Sie gibt an, welcher Flächenwert zu einem vorgegebenen Radius gehört („r wird quadriert und mit der Zahl π malgenommen“). Mit dieser Zuordnungsvorschrift kann der Wert der Kreisfläche aus dem Wert des Radius ermittelt werden.

Eine wichtige Voraussetzung bei solchen Zuordnungen ist, dass zu jedem Element der Definitionsmenge nur ein einziges Element der Wertemenge gehört – sonst ist es im mathematischen Sinne keine Funktion. Bei der Kreisfläche ist das gegeben: es gibt nicht zwei verschiedene Flächenwerte für einen Radius. Umgekehrt darf es aber für ein Element der Wertemenge mehrere Elemente der Definitionsmenge geben. Beispiel 4: In verschiedenen Jahren können gleich viele Einwohner in der Stadt gelebt haben…

Die Variable der Definfitionsmenge nennt man unabhängige Variable; denn ihre Werte werden vorgegeben. Aus ihnen wird der Wert der abhängigen Variablen (Wertemenge) ermittelt. In der Praxis ist es übrigens mehr oder weniger willkürlich, welche Variable als unabhängig betrachtet wird. Statt zu fragen, welche Fläche ein Kreis bei vorgegebenem Radius hat, kann man auch fragen, welcher Radius gewählt werden muss, um eine bestimmte Fläche zu bekommen. Das entspricht dem  Auflösen der Funktionsgleichung nach dem Radius. Man spricht dann von der Umkehrfunktion (aus F=F(r) wird r=r(F)):\[r=\sqrt{\dfrac{F}{ \pi}}\]

Eine solche Umkehrung ist allerdings nur dann möglich, wenn es auch für jedes Element der Wertemenge nur ein zugehöriges Element der Definitionsmenge gibt; es also in beide „Richtungen“ eine eins-zu-eins Zuordnung gibt. Sonst ist die Umkehrfunktion keine einfache Funktion mehr!

 

Abb.2: Existenz einer Umkehrfunktion

Funktionen können als Tabelle, Gleichung oder Graph dargestellt werden

Wie die Zuordnung der abhängigen zur unabhängigen Variablen beschrieben wird, ist unerheblich. In der Praxis spielen drei Zuordnungsmethoden eine Rolle: als Tabelle, Gleichung oder Graph (Zeichnung in einem Koordinatensystem).

Funktionen als Tabelle:

Hat man von der abhängigen und der unabhängigen Variablen nur eine begrenzte Anzahl von Werten, kann man die Wertepaare in eine Tabelle schreiben. Beispielsweise hängt die Einwohnerzahl Deutschlands vom Jahr ab, in dem sie ermittelt wurde. In einer Tabelle können die Wertepaare aufgelistet werden, wodurch die Abhängigkeit (der funktionale Zusammenhang) konkret beschrieben ist. Auch diskrete Messwerte einer physikalischen Versuchsreihe werden normalerweise als Tabelle dargestellt.

Jahr Einwohner [Mio]
2017 82,792
2018 83,019
2019 83,167

Funktionen als Gleichung:

Wenn man nicht nur einzelne (Mess-)Werte zur Verfügung hat, sondern einen allgemeinen Zusammenhang zweier Variablen in Form einer Gleichung kennt, ist dies die beste Form der Funktionsdarstellung (Funktionsgleichung). Der große Vorteil: für jeden beliebigen Wert der unabhängigen Variablen kann man den Wert der abhängigen Variablen errechnen – anders als in einer Tabelle, in der nur eine begrenzte Anzahl von Werten vorhanden sein kann. Unsere Flächenformel des Kreises ist ein Beispiel.

\[F=\pi r^2\]

Funktionen als Graph:

Sehr nützlich ist die Darstellung einer Funktionsgleichung oder einer Tabelle als Graph – also einer Zeichnung des Funktionsverlaufs in einem Koordinatensystem. Eine graphische Darstellung der Funktion kann leicht überblickt werden und Funktionseigenschaften fallen einem buchstäblich „ins Auge“ (Welche Form hat die Funktionskurve? Gibt es Minima oder Maxima?, Ist der Funktionswert irgendwo Null? etc.). Wie man solche Graphen erzeugt, wird im Folgenden gezeigt.

Beispiel Funktionsplot
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Graphische Darstellung von Funktionen

Aufbau eines Koordinatensystems:

Funktionen werden in einem Koordinatensystem dargestellt: Von einem (willkürlich gewählten) Ursprung aus wird eine Achse nach rechts gezeichnet, auf der in regelmäßigen Abständen Zahlen aufgetragen werden. Diese Achse wird im Allgemeinen positive x-Achse oder allgemein „Abszisse“ genannt. Nach links wird die gleiche Achse eingezeichnet, wobei hier negative Zahlen eingetragen werden (negative x-Achse; negativer Teil der Abszisse). Ganz gleich verfährt man mit einer positiven bzw. negativen y-Achse (Ordinatenachse), die nach oben und unten eingezeichnet und mit positiven bzw. negativen Zahlen versehen werden.

Die Werte der unabhängigen Variablen werden auf der Abszisse, die der abhängigen auf der Ordinate angetragen.

Hat man in einer Funktionstabelle für die unabhängige Variable (x) eine 3 und für die abhängige Variable (y) eine 4 stehen, kann man diese Werte als Punkt in das Koordinatensystem folgendermaßen eintragen: Man trägt eine senkrechte Gerade durch die 3 auf der x-Achse ein. Auf der y-Achse wird eine waagerechte Gerade durch die 4 eingezeichnet. Der Schnittpunkt der beiden Geraden repräsentiert dann den Punkt (3/4): Man geht vom Ursprung 3 Schritte nach rechts und 4 nach oben und gelangt so beim Punkt (3/4) an.

In der Beispielgraphik werden noch drei weitere Punkte gezeigt, deren x-Koordinaten -4, -5 und 5 und deren y-Koordinaten 5, -4 und -3 sind, also die Punkte (-4/5), (-5/-4)  und (5/-3).

Aufbau eines Koordinatensystems
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Um eine Funktionsgleichung darzustellen, setzt man verschiedene x-Werte in die Gleichung ein und rechnet sich die dazugehörigen y-Werte aus. Man erhält auf diese Weise eine Reihe von Funktionspunkten, die in das Koordinatensystem eingetragen werden. Die Punkte können dann durch eine Linie miteinander verbunden werden, so dass man eine durchgezogene Funktionskurve erhält. Am Beispiel der Funktion y = 2x+1wird dies in der animierten Beispielgraphik gezeigt.

Die Form der Funktionskurve ist unmittelbar erkennbar; in diesem Fall eine ansteigende Gerade. Andere Funktionen können ein Maximum oder Minimum zeigen, sie können periodisch sein, Unendlichkeitsstellen haben etc. Wichtige elementare Funktionen schauen wir uns in einem anderen Beitrag genauer an.

Konstruktion Funktionsplot in Koordinatensystem
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Was bleiben soll...

  • Eine Funktion ordnet die \(N_D\) Elemente \(x_i\) (\(i=1..N_D\)) einer Definitionsmenge D eindeutig den \(N_W\) Elementen \(y_n\) (\(n=1..N_W\)) einer Wertemenge W zu .
  • Schreibweise für eine Funktion F der Variablen x: \(F=F(x)\) („F ist gleich f von x“)
  • Ist auch jedem Element der Wertemenge eindeutig ein Element der Definitionsmenge zugeordnet, existiert eine Umkehrfunktion.
  • Funktionen können als Tabelle, Funktionsgleichung oder als Funktionsgraph in einem Koordinatensystem dargestellt werden.

Ausblick

In nächsten Schritt werden die wichtigsten elementaren Funktionen vorgestellt, aus denen sich eine Vielzahl komplexerer Funktionen zusammensetzt. Außerdem werden häufig auftauchende Charakteristika von Funktionen besprochen.

In einem speziellen Beitrag geht es um die Trigonometrischen Funktionen, die für die Beschreibung von Schwingungen und Wellen und allgemein für periodische Vorgänge große Bedeutung haben.