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statistik in der physik

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Allgemeines zur Statistik

"Ich glaube keiner Statistik, die ich nicht selbst gefälscht habe". Solche oder ähnliche Einstellungen kann man oft hören. Dabei ist die Statistik an sich eine strenge mathematische Wissenschaft, die aber zugegebenermaßen von der Politik oder von anderen interessierten Stellen manchmal missbraucht wird.

In der Physik spielt die Statistik in drei recht unterschiedlichen Bereichen eine Rolle:

1. in der sogenannten deskriptiven Statistik, die Mittelwerte, Standardabweichubngen etc. beschreibt

2. bei der Beschreibung von physikalischen Eigenschaften, die erst durch das Zusammenspiel vieler Teilchen entstehen

3. zur Berechnung von beobachtbaren, d.h. messbaren, physikalischen Eigenschaften in der Quantenmechanik


Deskriptive Statistik

Hier geht es in erster Linie um die Auswertung von Messreihen. Beispielsweise ist die Messung der Zeit, die ein Stein beim Fall aus einem Meter Höhe braucht, normalerweise mit Fehlern behaftet. Natürlich hängen die Fehler von der Messeinrichtung ab, die ich für die Messung benutze. Eine manuell bediente Stoppuhr ist sicher fehlerbehafteter als die Zeitmessung mit elektronisch ausgelösten Lichtschranken. Doch auch wenn der Fehler kleiner ist, so ist er doch immer noch vorhanden.

Fehler heißt in diesem Falle, dass man bei wiederholter Messung desselben Vorgangs nicht immer den gleichen Messwert erhält. Die Werte werden um einen Mittelwert herum schwanken. Charakteristisch für diese Messsituation ist, dass der Stein unabhängig von der Messung immer die gleiche Zeit für den Fall braucht, wenn er nur aus der exakt gleichen Höhe fallen gelassen wird. Die Messung versucht, diesen feststehenden - wahren - Wert möglichst genau zu bestimmen.

Die deskriptive Statistik stellt nun Methoden zur Verfügung, den wahren Wert der Fallzeit möglichst genau aus den Messresultaten zu bestimmen. Beispielsweise ist der Mittelwert der Messungen häufig eine gute Annäherung an den wahren Wert. Auch zur Charakterisierung der Güte des Messverfahrens wird die deskriptive Statistik benutzt. So ist zum Beispiel die sogenannte Standardabweichung ein Maß dafür, wie groß die Abweichungen der einzelnen Messungen vom Mittelwert üblicherweise sind. Die Stoppuhr hätte hier sicher eine größere Standardabweichung als die Lichtschranke.

Die statistischen Methoden lassen sich aber nicht nur für die möglichst gute Annäherung an den wahren Wert einer Messung nutzen. Sie können auch angewendet werden, um eine tatsächlich vorhandene Verteilung von Werten eines physikalischen Ensembles zu kennzeichnen. Will man zum Beispiel die Geschwindigkeit von Autos auf der A5 zwischen Darmstadt und Frankfurt ermitteln, so findet man eine breite Streuung der Messwerte: manche Autos fahren schnell, andere eher langsam. Der Mittelwert und die Standardabweichung können also die Gesamtheit der Autos auf der A5 kennzeichnen. Hätte man die Messung in der engen Hutzelgasse in Bad Irgendwo durchgeführt, wäre sicher ein anderer Mittelwert bzw. Standardabweichung heraus gekommen. Die statistische Größen charakterisieren also das jeweilige Objekt (das physikalische Ensemble; hier die Autos auf der A5 bzw. in der Hutzelgasse).


Statistische Beschreibung von Vielteilchensystemen

Gehen wir nun über zur Betrachtung von physikalischen Systemen, die aus vielen Teilchen bestehen (nicht nur aus ein paar tausend Autos auf der Autobahn). Ein beliebtes Beispiel sind die Gasmoleküle in einem Behälter mit 1 Liter Volumen. Wir reden jetzt von Teilchenzahlen im Bereich von 100.000.000.000.000.000.000.000 (hunderttausend Milliarden Milliarden). Jedes dieser Moleküle hat eine etwas andere Geschwindigkeit. Um die mittlere Geschwindigkeit zu bestimmen, müsste man für jedes Molekül eine Geschwindigkeitsmessung durchführen. Man kann sich vorstellen, das das ein bisschen Arbeit bedeuten und einige Zeit in Anspruch nehmen würde.

Man hat aber heraus gefunden, dass die mittlere Teilchengeschwindigkeit mit der Temperatur des Gases steigt. Statt einer in der Praxis undurchführbaren Messung der einzelnen Geschwindigkeiten misst man ganz einfach die Gastemperatur und fertig. Das Interessante ist, dass eine makroskopische Messgröße, die gar nichts von den einzelnen Teilchen weiss, für die Messung einer statistischen Größe (der mittleren Teilchengeschwindigkeit) heran gezogen wird. Temperatur ist eine statistische Aussage! Ähnliches gilt für den Druck des Gases (mittlere Kraftübertragung der Teilchen beim Auftreffen auf die Gefäßwand) oder viele andere physikalische Größen.

Zusammen fassend ist charakteristisch für die beschriebenen physikalischen Systeme, dass die Messung der individuellen Teilcheneingenschaften zwar praktisch kaum durchführbar aber theoretisch durchaus machbar ist.

Übrigens: in der sogenannten Statistischen Thermodynamik werden die Zusammenhänge zwischen den mikroskopischen Eigenschaften der Teilchen und den makroskopischen Messgrößen theoretisch untersucht und hergeleitet.


Statistik in der Quantenmechanik

War es bei der Beschreibung der Vielteilchensysteme zumindest prinzipiell noch möglich, individuelle Teilcheneigenschaften zu ermitteln, um hieraus die mittleren Werte zu bestimmen, so sieht das in der fremden Welt der Quantenmechanik ganz anders aus. Hier ist die Messung der individuellen Eigenschaften eines Teilchens nicht mehr exakt möglich. Es gilt das Heisenberg'sche Unschärfeprinzip, dem zufolge es keine beliebig genaue Messung von Impuls (vereinfacht: Geschwindigkeit) und Ort eines Teilchens geben kann (Gleiches gilt auch für andere Messgrößenpaare). Es sind nur noch statistische Aussagen über individuelle Messergebnise möglich, selbst wenn das Teilchen immer gleich präpariert wäre (Präparation heißt: das Teilchen befindet sich vor der Messung im gleichen Ausgangszustand; das entspricht der immer gleichen Höhe des Steins vor dem Fallenlassen).

Bei gleicher Präparation eines Teilchens würde also auch eine noch so genaue Messung prinzipiell unterschiedliche Messwerte ergeben - ganz im Gegensatz zur Messung der Fallzeit des Steins aus dem ersten Kapitel. Würde man aber viele Messungen am gleich präparierten Teilchen durchführen, ergäbe sich immer der gleiche Mittelwert bzw. die gleiche Standardabweichung des Messwertes. In der "Quantenwelt" sind also die einzelnen Messergebnisse nicht vorhersagbar ("nicht determiniert"), wohl aber die mittleren Ergebnisse. Da makroskopische Systeme immer aus einer Vielzahl von Einzelteilchen aufgebaut sind, bemerken wir bei normalen Messungen nichts von der Unbestimmtheit der individuellen Messwerte: makroskopische Messungen repräsentieren eben die mittleren Eigenschaften vieler Einzelteilchen.


Resumee

Statistik in der Physik hat also nichts Wages oder Beliebiges an sich. Sie kann in vielen Fällen helfen, physikalische Systeme einfach aber dennoch exakt zu beschreiben. Man muss nur aufpassen, ob man es mit den Eigenschaften von individuellen Einzelteilchen oder mit Massenansammlungen zu tun hat.

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