• Beitrags-Kategorie:Mathematik
  • Lesedauer:1 min Lesezeit

In diesem Tutorium werden die Grundrechenarten der natürlichen Zahlen vorgestellt: Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division.

Einleitung
Einleitung

In der Mathematik gab es ursprünglich zwei grundlegende Bereiche: die (Elementar)Geometrie (Lehre von den geometrischen Formen) und die Algebra (Lehre von den Rechenoperationen mit Zahlen).

Für die Algebra sind die natürlichen Zahlen, die sich direkt aus dem Zählen von Gegenständen ergeben, besonders wichtig. Zwei Themen sind es, um die wir uns in diesem Turorium besonders kümmern werden:

Was sind Natürliche Zahlen ?

Welche Grundrechenoperationen gibt es ?

natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen lauten
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...
Die Pünktchen bedeuten: "und so weiter"

Sie entstehen beim Zählen: eins, zwei, drei usw.

Alle natürlichen Zahlen entstehen, indem immer wieder eine Eins hinzu gezählt wird:

0+1=1 ➔ 1+1=2 ➔ 2+1=3 ➔ 3+1=4 usw.

Da man zu jeder natürlichen Zahl immer wieder eine Eins hinzu zählen kann, gibt es keine größte natürliche Zahl.

Anders gesagt: Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.

Die kleinste natürliche Zahl ist die Null.

natürliche Zahlen [2]
Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen geben die Anzahl der Elemente einer Menge an

Drei Scheren

Drei Flugzeuge

Drei Blumen

✂ ✂ ✂

✈ ✈ ✈

❀ ❀ ❀

Trotz der unterschiedllichen Gegenstände in den drei Mengen, haben die Scheren, die Flugzeuge und die Blumen eines gemeinsam: die Anzahl der Elemente ist drei.

Man sagt: Natürliche Zahlen abstrahieren von der Art der Elemente einer Menge. Die Anzahl von Elementen ist eine charakteristische Größe für die Menge - unabhängig von der Natur der Mengenelemente.

natürliche Zahlen [3]
Übrigens...

Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Zeichen ℕo (gesprochen: n null) abgekürzt

o = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

Manchmal wird die Null nicht zu den natürlichen Zahlen gerechnet. In diesem Fall handelt es sich um die Menge

ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... (ohne Null)

Leider hat man sich in Mathematikerkreisen nicht auf eine Definition einigen können. Im Zweifelsfall muss man hoffen, das in dem Buch oder Artikel oder Vortrag explizit gesagt wird, ob ℕ oder ℕo gemeint ist...

rechenarten allg
Grundrechenarten

Mit natürlichen Zahlen kann man rechnen. Die vier Grundrechenarten sind:

Addition (Hinzuzählen); Zeichen + ("plus")

Multiplikation (Malnehmen); Zeichen ("mal")

Subtraktion (Abziehen); Zeichen - ("minus")

Division (Teilen); Zeichen : ("durch")

Addition
Addition

Wir haben bereits das Addieren einer Eins als Sonderfall der Addition kennengelernt.

4 + 1 = 5

Jede natürliche Zahl a kann als Summe von a Einsen betrachtet werden.

a = 1+1+1+... a-mal
4 = 1+1+1+1

Addieren ist nichts anderes als mehrere „Einsen“ in einem Rutsch zu einer Zahl hinzuzufügen.

4+2 = 4+1+1
= 5+1 = 6

Die Addition a+b zweier natürlicher Zahlen a und b ist dasselbe wie b-mal eine Eins zu a hinzuzuzählen.

a und b heißen Summanden, das Ergebnis der Addition wird Summe genannt.

Multiplikation
Multiplikation

Es kommt oft vor, dass man die gleiche Zahl mehrmals hintereinander addieren muss.

Beispiel: Du kaufst Dir 3 Eisbällchen zu 2 Euro, also insgesamt für 2+2+2=6 Euro

Bei 3 Eisbällchen ist es noch kein Problem, 2+2+2 hinzuschreiben. Aber beim Einkauf vom 100 Eisbällchen für die ganze Klasse...? Das sähe dann wie im Beispiel aus.

2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2

Multiplikation
Multiplikation

Mathematiker sind faule Leute. Hundert mal 2+ hinzuschreiben ist ihnen zu zeitraubend. Deshalb haben sie eine abkürzende Schreibweise erfunden. Statt hundert mal 2+ schreiben sie

100 ⋅ 2

mit dem kleinen Malpunkt in der Mitte.

Ein paar weitere Beispiele für die Multiplikation:

3 ⋅ 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5 ⋅ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
1 ⋅ 6 = 6
0 ⋅ 6 = 0

Die Multiplikation a ⋅ b zweier natürlicher Zahlen a und b bedeutet, dass b a-mal addiert wird. a und b werden Faktoren, das Ergebnis der Multiplikation wird Produkt genannt.

Subtraktion
Subtraktion

Die Addition kann als das Hinzufügen einer Gruppe von Gegenständen zu einer bestehenden Gruppe interpretiert werden.

Beispiel: Zu drei Briefen bekomme ich zwei hinzu und habe dann fünf Briefe
✉ ✉ ✉ + ✉ ✉ = ✉ ✉ ✉ ✉ ✉

Man kann aber auch Gegenstände verlieren, sodass man weniger hat. Das nennt man Subtraktion. Das Subtraktionszeichen ist "-" (gesprochen: minus)

Beispiel: Von fünf Briefen werfe ich 2 in den Papierkorb und habe dann noch drei Briefe
✉ ✉ ✉ ✉ ✉ - ✉ ✉ = ✉ ✉ ✉

Ein paare Beispiele für Subtraktionen:

7 - 4 = 3 ✉✉✉[✉✉✉✉]
6 - 3 = 3 ✉✉✉[✉✉✉]
8 - 7 = 1 ✉[✉✉✉✉✉✉✉]

Etwas flapsig gesagt: Bei der Subtraktion werden keine Einsen hinzu gefügt, sondern weg genommen!

Bei der Subtraktion zweier natürlicher Zahlen a und b werden b Einsen von a weggenommen.

a wird Minuent, b Subtrahent und das Ergebnis a-b Differenz genannt.

Division
Division

Bei der Division geht es um die Aufteilung einer Anzahl von Dingen in gleich große Gruppen. Schauen wir uns die Situation anhand eines Beispiels genauer an:

Sechs Gummibären sollen auf 3 Kinder zu gleichen Teilen verteilt werden. Wieviel bekommt jedes Kind?

Nacheinander bekommt jedes Kind jeweils ein Gummibärchen; solange bis keins mehr im Vorrat ist. Am Ende hat jedes Knd zwei Gummibären; es bleibt kein Gummibärchen übrig.

Ergebnis: wenn man 6 Gummibären auf 3 Kinder verteilt, bekommt jedes 2 Bären.

Animation zur Division

Ob Gummibären, Smart Phones oder Elefanten: immer wenn man 6 Dinge zu gleichen Teilen auf 3 Gruppen aufteilt, bekommt jede Gruppe 2 Dinge. Als Formel geschrieben:

6 : 3 = 2

Division mit Rest
Division mit Rest

Im Gummibären-Beispiel blieb kein Gummibärchen beim Verteilen übrig. Was passiet, wenn wir nicht 6 sondern 7 Bärchen auf 3 Kinder verteilen?

Dann bleibt ein Rest übrig; in diesem Fall ein Gummibärchen.

Illustration Division mit Rest

Ob Gummibären, Smart Phones oder Elefanten: immer wenn man 7 Dinge zu gleichen Teilen auf 3 Gruppen aufteilt, bekommt jede Gruppe 2 Dinge; ein Ding bleibt übrig. Als Formel geschrieben:

6 : 3 = 2 Rest 1

Division allgemein
Division

Noch ein paar Beispiele für Divisionen:

8 : 2 = 4

8 Dinge werden auf 2 Gruppen aufgeteilt; jede bekommt 4 Dinge

5 : 1 = 5

5 Dinge werden auf eine Gruppe aufgeteilt; die Gruppe bekommt alle fünf Dinge

7 : 0 = ????

Dinge auf keine Gruppe aufzuteilen, ist sinnlos; Division durch Null ist verboten

Übrigens: Division ist so etwas wie die Umkehr der Multiplikation:

3 ⋅ 2 = 6 bedeutet: 3 Zweiergruppen werden vereinigt zu einer Großgruppe mit 6 Dingen

6 : 3 = 2 bedeutet: eine Großgruppe mit 6 Dingen wird auf 3 Zweiergruppen aufgeteilt.

Die Division a : b ist die Verteilung von a Dingen auf b gleich große Gruppen.

Bei natürlichen Zahlen kann bei der Division ein Rest übrig bleiben.

a wird Dividend, b Divisor und das Ergebnis a:b Quotient genannt.

Schlussbemerkung
Schlussbemerkung

Wir haben gesehen, dass Addition, Multiplikation und Subtraktion natürlicher Zahlen eigentlich nichts anderes ist als das Hinzufügen bzw. Wegnehmen von Einsen. Und Division ist im Grunde nur eine Aufteilung einer großen Gruppe von Einsen in gleich große kleinere Gruppen.

Mit dieser Sichtweise kann man viele Gesetzmäßigkeiten beim Rechnen mit Zahlen verstehen.

Diese Art von Rechnen kann aber sehr zeitaufwändiig sein. Kein Mensch will 45 + 56 durch schrittweises Hinzuzählen von 56 Einsen zu 45 ausrechnen. Und das Ergebnis von 8 ⋅ 6 durch Abzählen der entsprechenden Einsen zu ermitteln, macht auch keinen Spaß.

Deshalb bleibt einem nichts anderes übrig, häufige Additionen oder Multiplikationen auswendig zu lernen. Oder gewisse Tricks beim Ausrechnen zu benutzen. Oder einen Taschenrechner zu Rate zu ziehen.

Es ist wie so häufig in der Mathematik: im Grunde sind viele mathematische Methoden sehr einfach. Aber ihre Umsetzung in das reale Rechnen kann ziemlich aufwändig sein. Zum Glück muss man heutzutage nicht mehr auf Tabellenwerke und Rechenschieber zurückgreifen. Computer und Co haben da ihre Vorteile...

Zusammenfassung
Zusammenfassung

Addition einer natürlichen Zahl b zur Zahl a bedeutet, dass b Einsen zu a hinzugezählt werden. a und b nennt man Summanden, das Ergebnis Summe (a + b).

Beispiel: a = 2, b = 3
2 + 3 = 2 + 1 + 1 + 1 = 5

Subtraktion einer natürlichen Zahl b von der Zahl a bedeutet, dass b Einsen von a weggenommen werden. a heißt Minuend, b Subtrahend und das Ergebnis heißt Differenz (a - b).

Beispiel: a = 5, b = 3
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
5 – 3 = 2

Multiplikation einer natürlichen Zahl a mit der Zahl b bedeutet, dass b a-mal addiert wird. a und b heißen Faktoren, das Ergebnis heißt Produkt (a ⋅ b).

Beispiel: a = 3, b = 2
3 ⋅ 2 = 2 + 2 + 2 = 6

Division einer natürlichen Zahl a durch die Zahl b bedeutet, dass a Einsen in Gruppen zu je b Mitglieder aufgeteilt werden. a heißt Dividend, b Divisor und das Ergebnis heißt Quotient (a : b).

Beispiel: a = 6, b = 3
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
= [1+1] + [1+1] + [1+1]