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Modellbildung

Modellbildung ist, während ich diese Zeilen schreibe, in aller Munde: die Welt wird zurzeit durch die Corona-Krise in Atem gehalten. Mathematisch-physikalische Modelle spielen bei der politischen Entscheidungsfindung eine wesentliche Rolle. Anlass genug, sich ein wenig mit Stärken und Schwächen von Modellen in der Physik (und anderswo) zu beschäftigen.

Warum Modelle in der Physik?

Die (physikalische) Wirklichkeit kann sehr kompliziert sein: das Wettergeschehen zeigt uns jeden Tag, wie kompliziert die physikalischen Bedingungen, die das Wetter bestimmen, sind. Um nicht in dieser Komplexität unterzugehen, baut sich ein Physiker ein (mathematisches) Modell der Wirklichkeit zusammen, das möglichst einfach sein soll. Ziel des Modells ist es, Vorhersagen über den Verlauf physikalischer Vorgänge machen zu können. Je besser die Vorhersagen mit der Wirklichkeit übereinstimmen, desto besser und wertvoller ist das Modell (siehe die Wettervorhersage).

Ein Beispielmodell: der freie Fall

In der Physik geht es um eine quantitative Beschreibung von Vorgängen in der materiellen Welt. Als Beispiel nehmen wir den Fall irgendwelcher Körper auf den Erdboden, anhand dessen wir die Bedeutung der Modellbildung besprechen wollen.

Der Fall eines Körpers kann in der Realität ziemlich kompliziert sein. Um überhaupt mit dem Problem der Beschreibung des Herunterfallens fertig werden zu können, geht man von einem einfachen Modell des Falls aus: ein Körper fällt ausschließlich unter dem Einfluss der Gravitationskraft zu Boden. Die Fallbewegung wird durch eine sehr einfache mathematische Formel beschrieben: die Zunahme der Fallgeschwindigkeit (Beschleunigung) a des Körpers durch die Erdanziehung beträgt

a = C

wobei C eine Konstante ist

Ob die Fallbewegung in der Realität durch diese Formel –  sprich: das Modell – richtig beschrieben wird, kann nur das Experiment zeigen. Neben der generellen Form des Fallgesetzes muss auch der Wert der Konstanten (C) richtig gewählt werden; sonst gibt es keine Übereinstimmung mit dem Experiment. Oder allgemein gesprochen: Ein mathematisch-physikalisches Modell der Wirklichkeit enthält mindestens eine Formel für den grundlegenden Zusammenhang des zu modellierenden Vorgangs und Zahlenwerte für Parameter, die in der Formel auftauchen (hier: die Konstante C).

Überprüfung im Experiment: das Modell ist richtig!

Was ergibt die Überprüfung des Modells in der Wirklichkeit (dem Experiment)? Als erstes nehmen wir eine Eisenkugel, die wir aus einem Meter Höhe fallen lassen; als Wert der Konstanten wird 9,81 m/s2 gewählt. Das Experiment bestätigt Formel und Parameterwert auf das Schönste! Das Modell ist richtig und beschreibt die Wirklichkeit korrekt!

Oder doch nicht?

Überprüfung im Experiment: das Modell ist falsch!

Statt der Eisenkugel nehmen wir bei einem Überprüfungsexperiment eine Kugel aus Plastik. Oh weh: die Beschleunigung ist nicht mehr konstant; sie nimmt beim Fall dramatisch ab. Am Ende des Falls ist die Fallgeschwindigkeit sogar konstant, die Beschleunigung also null. Das Modell hat versagt, es beschreibt die Wirklichkeit in diesem Fall nicht mehr richtig. Das liegt daran, dass das Modell zu einfach ist. Es berücksichtigt nicht den Einfluss der Luftreibung, die in das mathematische Modell aufgenommen werden muss.

Man könnte das Fallexperiment mit der Eisenkugel auch auf dem Mond wiederholen. Und wieder gibt es ein Oh Weh. Denn die Beschleunigung ist diesmal zwar konstant, aber viel niedriger als auf der Erde. Der Parameterwert der Konstanten stimmt nicht mehr mit der Wirklichkeit überein. Grund ist hier, dass sich die Beschleunigung aufgrund des Newton’schen Gravitationsgesetzes so berechnet:

\[a= G\;\frac{M}{r^2}\]

M ist die Masse des Himmelskörpers und r sein Radius; G ist die sog. Gravitationskonstante – alles neue Parameter. Für die Erdoberfläche ergibt das die bekannten 9,81 m/s2, für den Mond aber nur ca. ein Sechstel dieses Wertes.

Physikalische Modelle sind weder falsch noch richtig!

Soll unser Modell also nicht nur für Metallkugeln nahe der Erdoberfläche, sondern allgemeiner gelten, muss es zumindest das Gravitationsgesetz und die Luftreibung berücksichtigen. Und die Zahl der Parameter, denen konkrete Werte zugewiesen werden müssen, hat sich deutlich erhöht.

Und das ist noch längst nicht alles: Luftreibung in Tateinheit mit Wind kann die Fallbewegung deutlich komplizierter gestalten (nicht mehr nur von oben nach unten, sondern auch seitwärts und manchmal sogar aufwärts), Abhängigkeit der Luftreibung von der Temperatur etc.

Ob ein Modell die Wirklichkeit falsch oder richtig beschreibt hängt also von den Bedingungen in der Wirklichkeit ab, die vom Modell abgebildet werden sollen. Will ich nur den Fall von Metallkugeln auf der Eroberfläche beschreiben, reicht das einfache Modell für die Beschleunigung aus. Sonst muss es deutlich komplizierter werden – sowohl was die Anzahl und Kompliziertheit der verwendeten Formeln als auch die Anzahl der Parameterwerte angeht.
 
Die Richtigkeit von Modellvorhersagen hängt also davon ab, ob die Modellannahmen und die Parameterwerte richtig sind und der Komplexität der Wirklichkeit entsprechen. Dem entsprechend kann man sich vorstellen, wie schwierig richtige Modellvorhersagen bei Pandemieverläufen oder dem Klimawandel sind…