• Beitrags-Kategorie:Chemie / Physik
  • Lesedauer:19 min Lesezeit

In Physik, Chemie, Maschinenbau und vielen weiteren Gebieten sind Kraft und Energie die Grundlage für praktisch alles. Ein guter Grund, uns damit näher zu beschäftigen: In vielen Tutorien, die sich mit den Grundlagen der jeweiligen Wissenschaften beschäftigen, werden diese Kraft und besonders Energie eine zentrale Rolle für ’s Verständnis spielen.

  1. Der Begriff der Kraft
  2. Beispiele für konkrete Kräfte
  3. Energie und Kraft
  4. Energieformen
  5. Schlussbemerkung

Der Begriff der Kraft

In der Umgangssprache wird Kraft häufig gebraucht: die Kraft beim Anheben eines Gewichts, die Haltekraft der Muskulatur, die Kraft der Gedanken usw. Ein bunter Strauß von Bedeutungen des Begriffs Kraft. In der Physik wird unter Kraft dagegen etwas sehr Spezifisches verstanden.

Der englische Physiker Sir Isaac Netwton präzisierte den Kraftbegriff, als er die sog. Klassische Mechanik schuf. Diesem Kraftbegriff liegt die Erfahrung zugrunde, dass man Kraft aufwenden muss, um einen Gegenstand zu beschleunigen oder abzubremsen, sprich: seine Geschwindigkeit zu ändern. Man braucht umso mehr Kraft, je schwerer der Gegenstand ist und je schneller die Geschwindigkeitsänderung vonstatten gehen soll.

Sir Isaac Newton
Sir Isaac Newton (Wikipedia)

Seit Newton ist Kraft über folgende Formel definiert:

\[F = m \cdot a  …………..(1)\]

Dabei bedeuten:

  • F: Kraft die auf einen Körper der Masse m einwirkt,
  • m: Masse des Körpers
  • a: Beschleunigung

Unter Beschleunigung wird die Änderungsrate der Geschwindigkeit verstanden:

\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} ……(2)\]

Δv ist die Geschwindigkeitsänderung, die im Zeitintervall Δt erreicht wird (der griechische Buchstabe Δ wird Delta gesprochen und steht allgemein für eine Differenz). Bleibt die Geschwindigkeit konstant (Δv = 0), wirkt keine Kraft auf den Körper ein oder anders gesagt: die Kraft F auf den Körper ist Null. Je schneller man einen Körper auf eine bestimmte Geschwindigkeit bringen will und je größer die Masse des Körpers ist, desto mehr Kraft muss man aufwenden.

Die physikalische Einheit der Kraft ist nach Sir Isaac benannt: 1 Newton oder abgekürzt: 1 N.

Übrigens-Logo

Übrigens:

Eigentlich ist die Kraft definiert als die Änderungsrate des Impulses (p) eines Körpers, wobei der Impuls als Produkt von Masse und Geschwindigkeit (m⋅v) des Körpers definiert ist:

\[F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta (m\cdot v)}{\Delta t}=\]\[\frac{m_2\cdot v_2-m_1\cdot v_1}{\Delta t}\]

Wenn sich die Masse des Körpers während der Zeit Δt nicht ändert (m2=m1=m), kann die Masse vorgezogen werden und es kommt Formel (1) heraus:

\[F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m\cdot v_2-m \cdot v_1}{\Delta t}=\]\[\frac{m \cdot (v_2-v_1)}{\Delta t}=\frac{m \cdot \Delta v}{\Delta t}=\]\[m\frac{\Delta v}{\Delta t}=m\cdot a\]

In den allermeisten Fällen, die in Chemie und Physik wichtig sind, ist die Masse des betrachteten Körpers während Δt konstant und die einfache Formel F=m⋅a gilt. Änderungen der Masse während Δt kommen z.B. bei der Raketengleichung vor, wo die Rakete permanent Masse durch Ausstoß des Treibstoffes verliert und dadurch leichter wird.

Und noch eine Anmerkung:

Da Δt eine endliche Zeitspanne bedeutet, stellen Ausdrücke wie Δv/Δt den Mittelwert der Geschwindigkeitsänderung während Δt dar. Der Wert sagt nichts darüber aus, wie groß die Änderungsrate zu irgendeinem Zeitpunkt innerhalb Δt ist, zum Beispiel in der Mitte des Zeitintervalls.

Je genauer man die Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt wissen will, desto kleiner muss man Δt um diesen herum wählen. Denkt man dies konsequent zu Ende, landet man bei der Differenzialrechnung. Zusammen mit der – mit ihr in engem Zusammenhang stehenden – Integralrechnung ist sie eine extrem wichtige mathematische Methode (für alle quantitativen Wissenschaften, nicht nur für Physik oder Chemie).

In der Sprache der Differenzialrechnung lauten die Formeln:

\[a = \frac{dv}{dt}\]

Und zu guter letzt:

Bisher haben wir unterschlagen, dass Kraft, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren sind. Denn alle drei Größen haben nicht nur eine Größe, sondern auch eine Richtung. Es macht viel aus, ob sich ein Auto in Richtung einer Mauer bewegt, oder von ihr weg. In der Mathematik wird dies durch sog. Vektoren beschrieben.
 
An dieser Stelle können wir nicht auf die mathematischen Eigenschaften von Vekroren eingehen. Wichtig ist zu wissen, dass man sich Vektoren als Pfeile mit einer Länge (Betrag) und einer Richtung vorstellen kann. Die Masse eines Körpers hat keine Richtung, sie ist ein sog. Skalar (eine einfache Zahl). Formel (1) besagt also, dass die Länge des Kraftpfeils m-mal größer ist als der Beschleunigungspfeil, aber in die gleiche Richtung weist.

mehr wissen

In der Sprache der Differenzialrechnung lauten die Formeln: \[a = \frac{dv}{dt}\] \[F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(m\cdot v)}{dt} = \frac{dm}{dt}v+m\frac{dv}{dt}\] Der letzte Ausdruck ist eine Spezialität der Differenzialrechnung: der sog. Kettenregel. Für alle, die sich näher mit Physik und Chemie beschäftigen wollen sei angeraten, sich mit der Differenzial- und Integralrechnung zu befassen.

Beispiele für konkrete Kräfte

Bisher haben wir uns nur mit der generellen Definition von Kraft beschäftigt: Ist die Änderungsrate des Impulses gegeben, kann man die Kraft ausrechnen. Man kann aber auch anders herum fragen: Wenn die Kraft gegeben ist, welche Änderung der Impulses ergeben sich daraus?

Um dies beantworten zu können, muss man wissen, wie groß die Kraft konkret ist und von welchen Größen sie abhängt. Im Folgenden werden ein paar besonders wichtige Kraftgesetze vorgestellt.

Gravitationskraft:

Newton hatte sich mit der Frage auseinander gesetzt, warum ein Apfel zu Boden fällt und wieso der Mond sich um die Erde dreht. Er fand heraus, dass beide Phänomen die gleiche Ursache haben. Sie gehorchen dem Gravitationsgesetz:

\[F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]FG ist die Kraft, mit der sich zwei massebehaftete Körper anziehen; m1 und m2 sind die Massen der beiden Körper und r ist deren Abstand (genauer: der Abstand ihrer Schwerpunkte). G ist die sog. Gravitationskonstante. Sie entspricht der Kraft, die zwei Körper mit der Masse 1 kg im Abstand von einem Meter aufeinander ausüben. Ihr Wert ist sehr klein (6,67⋅10-11 m3/kg⋅s2; entsprechend einer Kraft von ca. 0,07 Milliardstel Newton); die Gravitationskraft ist also sehr schwach. Die Erdanziehungskraft ist nur so hoch, weil die Erde eine sehr große Masse hat!

Apfel fällt vom Baum auf Newton's Kopf
Newton fällt der Apfel auf den Kopf

 

Das Gravitationsgesetz regelt also die Kraft, mit der sich die beiden Körper aufgrund ihrer Masse anziehen. Für das Verständnis der Bewegung von Himmelskörpern ist das Gravitationsgesetz von überragender Bedeutung. In der Chemie spielt sie aufgrund ihrer Kleinheit so gut wie keine Rolle.

Elektrostatische Kraft (Coulomb’sche Gesetz):

Körper können neben ihrer Masse auch eine elektrische Ladung tragen. Während man intuitiv eine Vorstellung davon hat, was Masse ist, ist die elektrische Ladung nicht mit unseren Sinnen fassbar. Wir können sie nur über ihre Kraftwirkungen bemerken. Man kann nur empirisch feststellen: Ladung ist eine besondere Eigenschaft von Körpern, die sich dadurch bemerkbar macht, dass sich geladene Körper anziehen oder – im Gegensatz zur Gravitation – abstoßen. Für die Ladung besteht ein Erhaltungssatz: Ladungen können nicht zerstört werden!

Der französische Physiker Charles Augustin de Coulomb entdeckte das Kraftgesetz, nach dem sich Ladungen anziehen oder abstoßen. Es lautet nach heutiger Schreibweise:\[F_{el} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\]
Fel ist die elektrostatische Kraft zwischen zwei geladenen Körpern, q1 und q2 sind die elektrischen Ladungen der beiden Körper und r ist wieder deren Abstand. Im Vorfaktor taucht die elektrische Feldkonstante ε0 (8,854⋅10-12 As/Vm) auf. Der Vorfaktor entspricht der Kraft, die zwei Körper mit einer Ladung von einem Coulomb (der Ladungseinheit) im Abstand von einem Meter aufeinander ausüben. Er entspricht einer Kraft von ca. 900 Millionen Newton! Die elektrostatische Kraft ist also viel, viel stärker als die Gravitation.

Sehr wichtig ist, dass zwei Arten von Ladungen existieren (wieder im Gegensatz zu den Massen im Gravitationsgesetz). Sie werden nicht nur positiv oder negativ genannt, auch ihr Zahlenwert ist positiv oder negativ. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab (Fel ist positiv), ungleichnamige ziehen sich an (Fel ist negativ).

Normale Materie besteht aus Atomen, deren Kern positiv geladene Protonen und deren Hülle gleich viele negativ geladene Elektronen enthält (außer beim Wasserstoffatom gibt es noch elektrisch neutrale Neutronen im Kern). Der Ladungswert von Protonen und Elektronen ist gleich (Elementarladung: 1,6⋅10-19C), so dass die Gesamtladung eines Atoms Null ist (positive und negative Ladung heben sich auf; man sagt: das Atom ist elektrisch neutral). Vergleicht man die Anziehung eines Protons und eines Elektrons aufgrund der elektrostatischen und der Gravitationskraft, so ist Fel um den Faktor 1042 größer als FG!!! Die Gravitation spielt also innerhalb eines Atoms überhaupt keine Rolle.

Die extrem starke elektrostatische Kraft bewirkt, dass es in Materie normalerweise keinen nennenswerten Überschuss einer der beiden Ladungsarten (positiv oder negativ) gibt. Es sind sehr hohe Kräfte erforderlich, um selbst sehr kleine Über- oder Unterschüsse von Ladung in einem Stück Materie zu erzeugen.

Lorenzkraft:

In Verbindung mit elektrischen Ladungen gibt es noch eine zweite bedeutende Kraft, die Lorenzkraft. Sie tritt in Erscheinung, wenn Ladungen in einem Magnetfeld bewegt werden:\[F_L=q \cdot v \cdot B \cdot \sin(\phi)\]mit \(F_L\) = auf einen Körper wirkende Lorenzkraft, q = Ladung des betrachteten Körpers, v = seine Geschwindigkeit B = Stärke des Magnetfeldes und \(\phi\) = Winkel zwischen der Geschwindigkeitsrichtung und der Richtung des Magnetfeldes am Ort des Körpers. Wenn Geschwindigkeit- und Magnetfeldrichtung senkrecht aufeinander stehen, \(\phi\) also 90° beträgt, ist der Sinus gleich 1 und kann in der Formel weggelassen werden.

Voraussetzung dafür, dass ein Körper die Lorenzkraft spürt ist also, dass er eine Ladung trägt, sich in einem Magnetfeld bewegt und Geschwindigkeits- und Magnetfeldrichtung nicht parallel sind.

Energie und Kraft

Aus der Kraftdefinition lässt sich eine andere physikalische Größe ableiten, deren Wichtigkeit nicht zu überschätzen ist: die Energie.

Energie kommt in zwei grundlegenden Formen vor: der potentiellen und der kinetischen Energie. Wenden wir uns zuerst der potentiellen Energie zu.

Potentielle Energie (Lageenergie)

In der Physik wird Arbeit ΔW definiert als das Produkt aus Kraft F, die auf einen Körper wirkt und Verschiebung Δx, die er durch die Kraft erfährt:

\[\Delta W=F  \cdot \Delta x\]

Man sagt auch, dass Arbeit in den Körper gesteckt wird und er dadurch eine potentielle Energie gleicher Größe erhält. Der Körper hat potentielle Energie, nachdem Arbeit an ihm verrichtet wurde.

\[E_{pot}=\Delta W=F  \cdot \Delta x\]

Um das klarer zu machen, betrachten wir das Anheben eines Gewichts im Schwerefeld der Erde. An der Erdoberfläche beträgt die Kraft auf einen Körper der Masse m: \(F = m \cdot g\). g ist die Beschleunigung, die ein Körper an der Erdoberfläche erfährt; ihr Wert ist angenähert 10 m/s² und ist auf den Erdmittelpunkt gerichtet.

Übrigens-Logo

Übrigens:

Dieses Kraftgesetz ergibt sich als Spezialfall direkt aus dem Newton’schen Gravitationsgesetz, wenn man für m2 die Erdmasse (ca. 6⋅1024 kg) und für r den Erdradius (ca. 6400 km) einsetzt.

Hebt man ein Gewicht von 2 kg einen Meter hoch (Δx = 1m), entspricht dies einem Gewinn an potentieller Energie von \[E_{pot}=m \cdot g \cdot \Delta x=\]\[2kg\cdot 10m/s^2 \cdot 1m\]also 20 kg m²/s². Die Einheit kg m²/s² nennt man Joule. Es handelt sich also um einen Gewinn an potentieller Energie von 20 J.

Kinetische Energie (Bewegungsenergie)

Was passiert, wenn man das Gewicht wieder zu Boden fallen lässt? Dazu schauen wir uns an, welche Geschwindigkeit es beim Aufschlag auf den Boden hat.

Wird ein Körper aus dem Stand heraus beschleunigt (Beschleunigung: a), kommt er in der Zeit t um die Strecke\[s=\frac{1}{2}a \cdot t^2\]voran (siehe Lehrbücher der Physik oder schau bei Leifiphysik nach). In unserem Fall ist a die Erdbeschleunigung g und s die Höhe Δx:\[\Delta x =\frac{1}{2}g \cdot t^2 \]Gleichzeitig gilt für die Geschwindigkeit allgemein\[v=a \cdot  t\]bzw. in unserem Fall\[v=g \cdot  t\]Jetzt setzt man den Ausdruck für Δx in die Formel für die potentielle Energie ein und erhält\[E_{pot}=m \cdot g \cdot \frac{1}{2}g \cdot t^2  = \frac{m}{2}g^2 \cdot t^2=\frac{m}{2}v^2\]

D.h. die potentielle Energie des Gewichts in der Höhe Δx entspricht der Größe \(\frac{m}{2}v^2\), wenn des Gewicht wieder auf seiner Anfangshöhe (dem Erdboden) angelangt ist. Man nennt diese Größe kinetische Energie. Beim Fall des Gewichts wurde potentielle Energie in eine gleich große kinetische Energie umgewandelt. Denn bevor man das Gewicht losgelassen hat, war seine kinetische Energie 0 (wegen v=0) und seine potentielle Energie mgΔx. Nach dem Fall ist seine kinetische Energie \(\frac{m}{2} v^2\) und seine potentielle Energie 0 (wegen Δx=0). Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist beim Fall also konstant geblieben!

Oder anders gesagt: es ist beim Fall keine Energie verloren gegangen; sie wurde nur von potentieller in kinetische Energie umgewandelt. Dies ist der Inhalt des eminent wichtigen Energie-Erhaltungssatzes!

\[E_{gesamt}=E_{pot} + E_{kin}=const\]

Obwohl der Energie-Erhaltungssatz für eine sehr spezielle Situation hergeleitet wurde, gilt er allgemein (wer die Begründung wissen will, klicke auf unsere Besserwisser-Professor). Bis heute wurde niemals ein Experiment gemacht, bei dem der Energie-Erhaltungssatz verletzt worden wäre.

Die Herleitung des Energie-Erhaltlungssatzes setzt Kenntnisse der Differenzial- und Integralrechnung voraus.

Wenn ein Körper durch die Kraft F um ein kleinen Stück dx bewegt wird, wird an ihm die Arbeit dW geleistet. Wird der Körper einen Gesamtweg x bewegt, ist die Gesamtarbeit\[W=\sum F \cdot dx\] bzw. als Integral, wenn F von x abhängt:\[W=\int F \cdot dx\]Mit F=m⋅a (m = constant) ergibt sich\[W=\int m \cdot a \cdot dx=m\int a \cdot dx\]Da a die Ableitung der Geschwindigkeit v nach der Zeit t ist, gilt\[m \int \frac{dv}{dt} dx=m \int \frac{dv}{dt} \frac{dx}{dt}dt=m \int \frac{dv}{dt} v dt\]Es wird also die Stammfunktion von dv/dt⋅v gesucht. Dies ist v²/2, denn (Kettenregel)\[\frac{d(\frac{1}{2}v^2)}{dt}=\frac{1}{2}2v \frac{dv}{dt}=v \frac{dv}{dt}\]Das Integral wird also zu\[\frac{m}{2}v^2\]

Ernergieformen

Wir haben potentielle und kinetische Energie als zwei Energieformen kennengelernt. Es wird aber häufig von weiteren Energieformen gesprochen: Wärmeenergie, chemische Energie, elektrische Energie, Schwingungsenergie etc. Hinter all diesen Energieformen steckt immer entweder potentielle oder kinetische Energie.

Wärmeenergie zum Beispiel ist nichts anderes als die Bewegungsenergie der Atome und Moleküle, aus denen die Materie besteht. Schwingungsenergie ist nichts anderes als die Summe von potentieller und kinetischer Energie des schwingenden Systems (auch Licht ist eine Schwingung; allerdings schwingt hier kein materieller Körper, sondern die Größe des elektrischen Feldes). Chemische Energie ist mikroskopisch betrachtet die potentielle Energie von Atomkernen und Elektronen aufgrund der elektrostatischen Wechselwirkungen, die durch das Coulomb-Gesetz beschrieben werden.

Wenn man von der Starken und Schwachen Wechselwirkung innerhalb von Atomkernen absieht, sind es in der Chemie fast immer elektrostatische Kräfte, die eine Rolle spielen. Wir werden in späteren Beiträgen dieser Serie noch genauer sehen, wo überall kinetische und potentielle Energie letztendlich die Ursache für das physikalisch-chemische Verhalten von Stoffen sind.

Schlussbemerkung

Zum Schluss noch ein paar ergänzende Bemerkungen:

  1. Einstein hat gezeigt, dass Newton’s Klassische Mechanik einen Grenzfall der allgemein gültigen Relativitätstheorie darstellt. Im Alltag spielt das aber keine Rolle, da Unterschiede zwischen beiden Theorien nur bei Geschwindigkeiten in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit relevant werden.
  2. Einstein hat auch bewiesen, dass Energie und Masse zwei Seiten ein und derselben Medaillie sind. Masse kann gemäß seiner berühmter Formel E=mc² in Energie umgewandelt werden und umgekehrt. In der Chemie spielt das keine wesentliche Rolle, da Energieänderungen bei chemischen Reaktionen so klein sind, dass die Masse der beteiligten Stoffe praktisch konstant bleibt (das Gesetz der Massenerhaltung in der Chemie bleibt im Rahmen der Messgenauigkeit gültig). Bei Kernreaktionen dagegen macht sich dies deutlich bemerkbar. Beispielsweise ist die Masse eines Heliumkerns (2 Protonen und 2 Neutronen) messbar kleiner als die Summe der Einzelmassen. Die Differenz wird bei der Bildung von Helium aus Wasserstoff in der Sonne als Energie freigesetzt. Dieser Prozess ist die eigentliche Quelle allen Lebens auf der Erde!
  3. In der in atomaren Dimensionen gültigen Quantenmechanik bleiben Begriffe wie Kraft und (potentielle und kinetische) Energie weiterhin gültig (in der grundlegenden Schrödinger-Gleichung kommen kinetische und potentielle Energie weiterhin vor). Allerdings kann die Energie in räumlich begrenzten Systemen (Atome, Moleküle etc.) nicht mehr beliebige Werte annehmen. Das hat bedeutende Folgen für die Änderung von Energien. Gemäß der klassischen Physik kann man ein Gewicht in beliebige Höhen heben, also jede potentielle Energie erreichen. Laut Quantenmechanik können nur bestimmte Höhen (potentielle Energien) eingenommen werden; allerdings sind die Auswirkungen der Quantenmechanik im Alltag nicht zu bemerken, da die erlaubten Energiewerte normaler Gegenstände so eng beieinander liegen, dass die „Lücken“ weit unterhalb aller Messmöglichkeiten liegen.