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In diesem Tutorium geht es um die grundlegenden Rechengesetze der Algebra: Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz. Außerdem wird die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung und die Benutzung von Klammern besprochen.

Um was es geht

Natürliche Zahlen können addiert (zusammengezählt), subtrahiert (abgezogen), multipliziert (malgenommen) oder dividiert (geteilt) werden. In diesem Tutorium werden wir uns mit den Rechengesetzen der Addition und Multiplikation beschäftigen.

Dabei wird es um diese Punkte gehen:

Was ist das Kommutativgesetz ?

Was ist das Assoziativgesetz ?

Was ist das Distributivgesetz ?

Was bedeutet "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" ?

Kann man die Richtigkeit dieser Gesetze beweisen ?

Was ist das Kommutativgesetz ?

Addiert oder multipliziert man Zahlen stellt sich die Frage, ob die Reihenfolge der Zahlen für das Ergebnis eine Rolle spielt.

Die Antwort gibt das Kommutativgesetz. Es lautet:

Beim Addieren bzw. Multiplizieren zweier Zahlen a und b kommt es nicht auf die Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren an.

Addition

a + b = b + a

Beispiel

4 + 3 = 3 + 4 = 7

Multiplikation

a ⋅ b = b ⋅ a

Beispiel

2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6

Begründung

Die Reihenfolge der Zahlen bei Addition und Multiplikation ist also egal. Das gilt auch, wenn mehr als zwei Zahlen addiert oder multipliziert werden.

Wieso ist das so ? Das kann man sich im Falle der Addition an einem Beispiel klarmachen:

Die Zahl 5 kann als eine Summe von 5 Einsen geschrieben werden:

1 + 1 + 1 + 1 + 1

Die zwei roten Einsen werden zu den drei blauen hinzuaddiert. Es gilt also: 3 + 2 = 5.

Wenn man die roten Einsen nach vorne holt, ändert sich an der Zahl der Einsen nichts. Es sind weiterhin fünf. Wir haben jetzt 2 + 3 = 5.

1 + 1 + 1 + 1 + 1

In diesem Beispiel gilt also: 3 + 2 = 2 + 3 = 5. Das entspricht dem Kommutativgesetz.

Das gleiche Argument kann man auf jede andere Zahlenkombination anwenden. Mehr als zwei Zahlen entsprechen einfach mehr Gruppen von Einsen. Und diese Gruppen können beliebig vertauscht werden, ohne die Gesamtzahl der Einser zu verändern. Das Kommutativgesetz gilt also allgemein!

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz ist mit dem Kommutativgesetz eng verwandt. Es lautet:

Beim Addieren bzw. Multiplizieren dreier Zahlen a, b und c ist es egal, ob zuerst die beiden ersten oder die beiden letzten Zahlen addiert bzw. multipliziert werden.

a + (b + c) = (a + b) + c

2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c

2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4

Wie beim Kommutativgesetz kann dies dadurch begründet werden, dass jede Zahl a, b und c durch die Summe entsprechend vieler Einsen dargestellt werden kann. Egal, in welcher Reihenfolge ich die Einsergruppen zusammenzähle: An der Gesamtzahl der Einsen ändert sich nichts !

Punkt- / Strichrechnung

Beim Kommutativ- und Assoziativgesetz geht es um Rechnungen, bei denen entweder nur addiert oder nur subtrahiert wird. Was passiert aber, wenn Addition und Multiplikation gemischt werden?

Schauen wir uns ein Beispiel an:
4 + 3 ⋅ 2

Zunächst könnte man denken: man rechnet von links nach rechts:

4 + 3 ⋅ 2 = 7 ⋅ 2 = 14

Aber das ist falsch !!!

Denn wenn man die Multiplikation in die Additionen auflöst, sieht das Ganze so aus:

4 + 3 ⋅ 2 = 4 + 2 + 2 + 2 = 10

Punkt- / Strichrechnung

Das Beispiel der vorherigen Seite ist Ausdruck eines allgemeinen Rechengesetzes: Punktrechnung geht vor Strichrechnung :

Wird bei Rechnungen sowohl addiert als auch multipliziert, muss immer erst multipliziert und dann addiert werden.

Aber was ist, wenn man aus irgendeinem Grund doch erst addieren und danach multiplizieren will (am Beispiel des Distributivgesetzes werden wir sehen, warum das wichtig sein kann).

Dann muss man Klammern setzen. Immer wenn Teile der Rechnung in Klammern stehen, muss erst die Klammer ausgerechnet werden. Näheres schauen wir uns im nächsten Slide an.

Klammern

Nehmen wir wieder die Rechnung 4 + 3 ⋅ 2 als Beispiel. Will man erst 4 + 3 rechnen, schreibt man Klammern um diesen Ausdruck:

(4 + 3) ⋅ 2 = 7 ⋅ 2 = 14

Die Klammern "überstimmen" die Punkt-vor-Strich Regel.
Wenn Klammern verschachtelt sind (also Klammerausdrücke in einer Klammer stehen), muss immer die innerste Klammer zuerst ausgerechnet werden.

Beim Ausrechnen von gemischten Ausdrücken gilt normalerweise die Punkt-vor-Strich Regel.

Stehen Klammern im Ausdruck, müssen trotz der Punkt-vor-Strich Regel erst die Klammern ausgerechnet werden.

Sind Klammern verschachtelt, muss die innerste Klammer als Erstes berechnet werden.

Schauen wir uns ein paar Beispiele im nächsten Slide an.

Klammern

Hier ein paar Beispiele für den Einsatz von Klammern in gemischten Ausdrücken:

2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 = 6 + 20 = 26

erst multiplizieren, dann addieren

2 ⋅ (3 + 4) ⋅ 5 = 2 ⋅ 7 ⋅ 5 = 70

erst Klammer ausrechnen

2 ⋅ (3 + 4 ⋅ 5) = 2 ⋅ (3 + 20) = 2 ⋅ 23 = 46

Klammer zuerst, in Klammer: Punkt vor Strich

Beachte: Die Klammersetzung ergibt völlig unterschiedliche Ergebnisse trotz gleicher Zahlen!
Und noch ein Beispiel für verschachtelte Klammern:

5 ⋅ ((2 + 3) ⋅ 4 + 2) = 5 ⋅ (5 ⋅ 4 + 2) = 5 ⋅ (20 + 2) = 5 ⋅ 22 = 110

innerste Klammer zuerst, dann Punkt vor Strich, dann verbleibende Klammer

Klammern müssen als erstes berechnet werden.

Wenn Klammern fehlen, wird erst multipliziert, dann addiert.

Distributivgesetz

Bevor wir uns dem Distributivgesetz zuwenden, schauen wir uns erst einmal eine Fragestellung an, die zu diesem wichtigen Gesetz führen wird.

Du hast 2 Körbe mit 5 bzw. 6 Äpfeln.
Jeder Apfel kostet 2 Euro (ganz schön teuer!) und Du willst wissen, wie viel alle Äpfel zusammen kosten.

Apfelkorb

5 Äpfel in Korb 1

2 Euro pro Apfel

Apfelkorb

6 Äpfel in Korb 2

2 Euro pro Apfel

Im nächsten Slide schauen wir uns an, wie man die Gesamtkosten berechnen kann.

Distributivgesetz

Wir können die Gesamtkosten auf zwei Wegen errechnen:

Rechenweg 1:

erst Kosten pro Korb ermitteln, dann Kosten der Körbe addieren

Apfelkorb

Korb 1: 5 Äpfel

Kosten Korb 1:
5 ⋅ 2 € = 10 €

Apfelkorb

Korb 2: 6 Äpfel

Kosten Korb 2:
6 ⋅ 2 € = 12 €

Gesamtkosten: 10 € + 12 € = 22 €

Rechenweg 2:

erst Gesamtzahl der Äpfel ermitteln, dann Gesamtzahl mit Kosten pro Apfel multiplizieren

Gesamtzahl Äpfel: 5 + 6 = 11

Gesamtkosten: 11 ⋅ 2 € = 22 €

Als Formel: 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 = 22 bzw. (5 + 6) ⋅ 2 = 22

Distributivgesetz

Das Apfelkorb-Beispiel kann verallgemeinert werden, denn die beiden Rechenwege funktionieren unabhängig von der konkreten Anzahl der Äpfel in den beiden Körben - Hauptsache, der Preis pro Apfel ist gleich.

Im Beispiel: 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 = (5 + 6) ⋅ 2

Im Allgemeinen: a ⋅ c + b ⋅ c = (a + b) ⋅ c

Und das ist auch schon das Distributivgesetz. Noch mal in dicken Lettern:

(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c

Das Distributivgesetz ist ein schönes Beispiel für die Wichtigkeit der Klammersetzung in mathematischen Formeln.

Nachtrag

Mit Hilfe des Distributivgesetzes kann man das Kommutativgesetz der Multiplikation begründen:

2 ⋅ 3 = 2 ⋅ (1 + 1 +1)

wg. Definition der Zahl 3

= 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1

wg. Distributivgesetz

= 2 + 2 + 2

wg. Punkt vor Strich

= 3 ⋅ 2

wg. Definition der Multiplikation

Nachtrag

Und auch das Assoziativgesetz der Multiplikation kann mit dem Distributivgesetz begründet werden:

(4 ⋅ 2) ⋅ 3 = 4 ⋅ 2 ⋅ (1 + 1 +1)

wg. Definition der Zahl 3

= (4 ⋅ 2) ⋅ 1 + (4 ⋅ 2) ⋅ 1 + (4 ⋅ 2) ⋅ 1

wg. Distributivgesetz

= 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2

wg. Multiplikation mit 1

= 4 ⋅ (2 + 2 + 2)

wg. Distributivgesetz

= 4 ⋅ (3 ⋅ 2)

wg. Definition der Multiplikation

= 4 ⋅ (2 ⋅ 3)

wg. Kommutativgesetz

Rechenbeispiele

Kurz vor der Zusammenfassung noch ein paar Rechenbeispiele:

3 + 5 + 1 = 9

Reihenfolge egal weil nur Additionen

= (2 + 3) ⋅ 4 = 20

Klammer zuerst

= (2 + 3) ⋅ (4 + 1) = 25

zuerst beide Klammern

= 2 + (2 + 3) ⋅ (4 + 1) = 27

zuerst beide Klammern getrennt, dann multipizieren, dann 2 addieren

= 2 + (2 + 3) ⋅ 4 + 1 = 23

erst Klammer, dann Punkt vor Strich

= (2 + (2 + 3)) ⋅ (4 + 1) = 35

innere Klammer im ersten Faktor ist überflüssig (Assoziativgesetz)

Zusammenfassung

Kommutativgesetz

a + b = b + a

a ⋅ b = b ⋅ a

a, b: natürliche Zahlen

Assoziativgesetz

a + (b + c) = (a + b) + c

a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c

a, b: natürliche Zahlen

Distributivgesetz

(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c

a, b, c: natürliche Zahlen

Klammern und Punkt-vor-Strich

Klammern zuerst, dann multiplizieren, zuletzt addieren

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