In diesem Beitrag geht es um die grundlegenden Rechengesetze der Algebra: Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz. Außerdem wird die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung und die Benutzung von Klammern besprochen.
Um was es geht
Natürliche Zahlen können addiert (zusammengezählt), subtrahiert (abgezogen), multipliziert (malgenommen) oder dividiert (geteilt) werden. In diesem Beitrag werden wir uns mit den Rechengesetzen der Addition und Multiplikation beschäftigen.
Was ist das Kommutativgesetz?
Addiert oder multipliziert man Zahlen stellt sich die Frage, ob die Reihenfolge der Zahlen für das Ergebnis eine Rolle spielt.
Die Antwort gibt das Kommutativgesetz. Es lautet:
Begründung
Wieso ist das so ? Das kann man sich im Falle der Addition an einem Beispiel klarmachen:
Die Zahl 5 kann als eine Summe von 5 Einsen geschrieben werden.
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
Die zwei roten Einsen werden zu den drei blauen hinzuaddiert. Es gilt also: 3 + 2 = 5.
Wenn man die roten Einsen nach vorne holt, ändert sich an der Zahl der Einsen nichts. Es sind weiterhin fünf. Wir haben jetzt 2 + 3 = 5.
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
In diesem Beispiel gilt also: 3 + 2 = 2 + 3 = 5. Das entspricht dem Kommutativgesetz. Die Begründung funktioniert genauso für die Addition irgendwelcher anderer zwei Zahlen. Das Kommutativgesetz der Addition gilt also allgemein.
Das gleiche Argument kann man auf jede andere Zahlenkombination anwenden. Mehr als zwei Zahlen entsprechen einfach mehr Gruppen von Einsen. Und diese Gruppen können beliebig vertauscht werden, ohne die Gesamtzahl der Einsen zu verändern. Da die Multiplikation mehrfache Addition derselben Zahl ist, gilt das Kommutativgesetz auch für die Multiplikation.
Was ist das Assoziativgesetz?
Das Assoziativgesetz ist mit dem Kommutativgesetz eng verwandt. Es lautet:
Beim Addieren bzw. Multiplizieren dreier Zahlen a, b und c ist es egal, ob zuerst die beiden ersten oder die beiden letzten Zahlen addiert bzw. multipliziert werden.
Wie beim Kommutativgesetz kann dies dadurch begründet werden, dass jede Zahl a, b und c durch die Summe entsprechend vieler Einsen dargestellt werden kann. Egal, in welcher Reihenfolge ich die Einsergruppen zusammenzähle: An der Gesamtzahl der Einsen ändert sich nichts !
Punkt vor Strichrechnung
Beim Kommutativ- und Assoziativgesetz geht es um Rechnungen, bei denen entweder nur addiert oder nur multipliziert wird. Was passiert aber, wenn Addition und Multiplikation gemischt werden?
Schauen wir uns ein Beispiel an:
4 + 3 ⋅ 2
Zuerst könnte man denken: Man rechnet von links nach rechts.
4 + 3 ⋅ 2 = 7 ⋅ 2 = 14
Aber Achtung: Das ist falsch!!!
Denn wenn man die Multiplikation in die Additionen auflöst, sieht das Ganze so aus:
4 + 3 ⋅ 2 = 4 + 2 + 2 + 2 = 10
Das Beispiel ist Ausdruck eines allgemeinen Rechengesetzes: Punktrechnung geht vor Strichrechnung
Wird bei Rechnungen sowohl addiert als auch multipliziert, muss immer zuerst multipliziert und erst danach addiert werden.
Aber was ist, wenn man aus irgendeinem Grund doch erst addieren und danach multiplizieren will (am Beispiel des Distributivgesetzes werden wir sehen, warum das wichtig sein kann).
Klammern
Dann muss man Klammern setzen. Immer wenn Teile der Rechnung in Klammern stehen, muss erst die Klammer ausgerechnet werden. Nehmen wir wieder die Rechnung 4 + 3 ⋅ 2 als Beispiel. Will man erst 4 + 3 rechnen, schreibt man Klammern um diesen Ausdruck:
(4 + 3) ⋅ 2 = 7 ⋅ 2 = 14
Jetzt ist 14 als Ergebnis richtig; denn der Klammerausdruck muss zuerst ausgerechnet werden.
Die Klammern „überstimmen“ die Punkt-vor-Strich Regel. Wenn Klammern verschachtelt sind (also Klammerausdrücke in einer Klammer stehen), muss immer die innerste Klammer zuerst ausgerechnet werden.
- Beim Ausrechnen von gemischten Ausdrücken gilt normalerweise die Punkt-vor-Strich Regel.
- Stehen Klammern im Ausdruck, müssen trotz der Punkt-vor-Strich Regel erst die Klammern ausgerechnet werden.
- Sind Klammern verschachtelt, muss die innerste Klammer als Erstes berechnet werden.
Hier ein paar Beispiele für die Verwendung der Klammer- und der Punkt-vor Strich-Rechnung:
2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 = 6 + 20 = 26
erst multiplizieren, dann addieren
2 ⋅ (3 + 4) ⋅ 5 = 2 ⋅ 7 ⋅ 5 = 70
erst Klammer ausrechnen
2 ⋅ (3 + 4 ⋅ 5) = 2 ⋅ (3 + 20) = 2 ⋅ 23 = 46
Klammer zuerst, in Klammer: Punkt vor Strich
Beachte: Die Klammersetzung ergibt völlig unterschiedliche Ergebnisse trotz gleicher Zahlen!
Und noch ein (komplizierteres) Beispiel für verschachtelte Klammern:
5 ⋅ ((2 + 3) ⋅ 4 + 2) =
5 ⋅ (5 ⋅ 4 + 2) =
5 ⋅ (20 + 2) =
5 ⋅ 22 =
110
innerste Klammer zuerst, dann Punkt vor Strich, dann verbleibende Klammer
- Klammern müssen als erstes berechnet werden.
- Verschachtelte Klammern müssen von innen nach außen abgearbeitet werden.
- Wenn Klammern fehlen, wird erst multipliziert, dann addiert.
Was ist das Distributivgesetz?
Bevor wir uns dem Distributivgesetz zuwenden, schauen wir uns erst einmal eine Fragestellung an, die zu diesem wichtigen Gesetz führen wird.
Du hast 2 Körbe mit 5 bzw. 6 Äpfeln.
Jeder Apfel kostet 2 Euro (ganz schön teuer!) und Du willst wissen, wie viel alle Äpfel zusammen kosten.
5 Äpfel in Korb 1
2 Euro pro Apfel
6 Äpfel in Korb 2
2 Euro pro Apfel
Die Gesamtkosten können wir auf zwei Wegen berechnen:
Rechenweg A
erst Kosten pro Korb ermitteln, dann Kosten der Körbe addieren
Korb 1:
5 ⋅ 2 € = 10 €
Korb 2:
6 ⋅ 2 € = 12 €
Gesamtkosten:
10 € + 12 € = 22 €
Rechenweg B
erst Gesamtzahl der Äpfel ermitteln, dann Gesamtzahl mit Kosten pro Apfel multiplizieren
Gesamtzahl Äpfel:
5 + 6 = 11 Äpfel
Preis pro Apfel:
2 €
Gesamtkosten:
11 ⋅ 2 €= 22 €
Als Formel:
Rechenweg A: 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 = 22
Rechenweg B: (5 + 6) ⋅ 2 = 22
Beide Wege ergeben also das gleiche Ergebnis!
Das Apfelkorb-Beispiel kann verallgemeinert werden, denn die beiden Rechenwege funktionieren unabhängig von der konkreten Anzahl der Äpfel in den beiden Körben und der konkreten Höhe der Kosten pro Apfel – Hauptsache, der Preis pro Apfel ist für beide Körbe gleich.
Im Beispiel:
5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 = (5 + 6) ⋅ 2
Allgemein:
a ⋅ c + b ⋅ c = (a + b) ⋅ c
Und das ist auch schon das Distributivgesetz! Es ist eine wichtige Anwendung der Klammer– bzw. Punkt-vor-Strich-Regeln. Und gilt natürlich unabhängig davon, ob es sich um Körbe oder Äpfel handelt…
- Das Distributivgesetz lautet
a ⋅ c + b ⋅ c = (a + b) ⋅ c - In Worten: Wird ein Faktor mit einer Summe multipliziert, dann kann er mit jedem Summanden der Summe getrennt multipliziert und die sich ergebenden Produkte addiert werden.
- Liest man die Formel von links nach rechts, spricht man von „ausklammern“.
- Liest man die Formel von rechts nach links, spricht man von „ausmultiplizieren“.
Nachtrag
Mit Hilfe des Distributivgesetzes kann man das Kommutativgesetz der Multiplikation begründen:
2 ⋅ 3 = 2 ⋅ (1 + 1 + 1)
wg. Definition der Zahl 3
2 ⋅ (1 + 1 + 1) = 2⋅1 + 2⋅1 + 2⋅1
wg. Distributivgesetz
2⋅1 + 2⋅1 + 2⋅1 = 2 + 2 + 2
wg. Punkt-vor-Strich
2 + 2 + 2 = 3 ⋅ 2
wg. Definition der Multiplikation
Ganz ähnlich kann man das Assoziativgesetz der Multiplikation begründen:
(4 ⋅ 2) ⋅ 3 = (4 ⋅ 2) ⋅ (1 + 1 + 1)
wg. Definition der Zahl 3
(4 ⋅ 2) ⋅ (1 + 1 + 1) = (4⋅2)⋅1 + (4⋅2)⋅1 + (4⋅2)⋅1
wg. Distributivgesetz
(4⋅2)⋅1 + (4⋅2)⋅1 + (4⋅2)⋅1 = 4⋅2 + 4⋅2 +4⋅2
wg. Multiplikation mit 1
4⋅2 + 4⋅2 + 4⋅2 = 4 ⋅ (2 + 2 + 2)
wg. Distributivgesetz
4 ⋅ (2 + 2 + 2) = 4 ⋅ (3 ⋅ 2)
wg. Definition der Multiplikation
4 ⋅ (3 ⋅ 2) = 4 ⋅ (2 ⋅ 3)
wg. Kommutativgesetz
Lustig, oder…?
Ein paar Rechenbeispiele
Kurz vor der Zusammenfassung noch ein paar Rechenbeispiele:
3 + 5 + 1 = 9
Reihenfolge egal weil nur Additionen
(2 + 3) ⋅ 4 = 20
Klammer zuerst
(2 + 3) ⋅ (4 + 1) = 25
zuerst beide Klammern
2 + (2 + 3) ⋅ (4 + 1) = 27
zuerst beide Klammern getrennt, dann multipizieren, dann 2 addieren
2 + (2 + 3) ⋅ 4 + 1 = 23
erst Klammer, dann Punkt vor Strich
(2 + (2 + 3)) ⋅ (4 + 1) = 35
innere Klammer im ersten Faktor ist überflüssig (Assoziativgesetz)
Zusammenfassung
Kommutativgesetz
a + b = b + a
a ⋅ b = b ⋅ a
Assoziativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c)
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )
Distributivgesetz
a⋅c + b⋅c = (a + b) ⋅ c
Klammern und Punkt-vor-Strich
Klammern zuerst, dann multiplizieren, zuletzt addieren