Potenzen und Wurzeln (nein, nicht Möhren und Radieschen!) sind in der Mathematik wichtige Objekte, mit denen man rechnen kann (die Operationen heißen Potenzieren und Wurzelziehen). Im Folgenden schauen wir uns die
allgemeine Definition von Potenzen und Wurzeln an und leiten daraus die wichtigsten Rechengesetze ab.
Wer sich die Definitionen und Regeln der Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) ansehen will, kann das in einem eigenen Beitrag zu diesen Themen tun.
Was ist eine Potenz in der Mathematik?
In vielen mathematischen Aufgabenstellungen wird eine Zahl mehrfach mit sich selbst multipliziert. Ein Beispiel ist die Berechnung des Volumens eines Würfels der Kantenlänge d (z.B. d = 2 cm). Das Volumen V berechnet sich zu \(V=d\cdot d \cdot d\) – im Beispiel ist das ein Volumen von 8 cm³. Diese mehrfache Multiplikation ein und derselben Zahl mit sich selbst wird abgekürzt \(V=d^3\) geschrieben (gesprochen: d hoch drei).
Und das ist auch schon die Definition einer (mathematischen) Potenz: \(a^n\) bedeutet nichts anderes, als die Zahl a n mal mit sich selbst zu multiplizieren. Beispiel: \(3^5=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\).
So wie das Multiplizieren die mehrfache Addition der gleichen Zahl ist, bedeutet Potenzieren das mehrfache Multiplizieren der gleichen Zahl.
\(a^n=\)\(\begin{array}{c} \underbrace{a\cdot a\cdot … \cdot a} \\ n-fach \end{array}\)
Was ist eine Wurzel in der Mathematik?
Beim Potenzieren fragt man, welche Zahl x heraus kommt, wenn man \(a^d\) ausrechnet. Oft hat man aber die umgekehrte Fragestellung: Das Ergebnis der Potenzrechnung x und der Exponent d sind zwar bekannt; man will aber wissen, was die dazu gehörige Basis a ist. In unserem Volumenbeispiel heißt das: wenn das Volumen eines Würfels 8cm³ beträgt, was ist die zugehörige Kantenlänge s?
Man muss also die Gleichung \(8=s^3\) nach s auflösen. Dieser Prozess heißt Wurzelziehen; s wird dann „dritte Wurzel aus 8“ genannt. Oder anders formuliert: die Wurzel ist die Antwort auf die Frage: „Welche Zahl muss ich drei mal mit sich selbst multiplizieren, um 8 zu erhalten?“.
Auch für das Wurzelziehen gibt es eine Kurzschreibweise:\[\sqrt[3]{V}\] oder in unserem Beispiel \(\sqrt[3]{8}=2\), denn 2·2·2=8. Man beachte: die n-te Wurzel aus der n-ten Potenz einer Zahl ist die Zahl selbst. Denn Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens und umgekehrt – so wie Multiplikation und Division Umkehrungen voneinander sind.
Scheiben wir zur Übersichtlichkeit noch einmal die Beziehung zwischen Potenzieren und Wurzelziehen hin:
- Potenzieren: \(y=x^n\)
- Wurzelziehen: \(x=\sqrt[n]{y}\)
- \(\sqrt[n]{x^n}=x\)
Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
Für das Rechnen mit Potenzen existieren (natürlich) verschiedene Rechenregeln, die im Folgenden besprochen werden sollen.
Da Potenzieren das Gleiche wie mehrfaches Multiplizieren ist, ergeben sich die meisten Rechengesetze recht einfach. Im Folgenden werden ohne viel Drumherum nacheinander die Regeln benannt und – meist anhand von Beispielen – plausibel gemacht.
gleicher Exponent:\[a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n\]
\[a^3= a\cdot a \cdot a\]\[b^3= b\cdot b \cdot b\]Da es gleich viele a wie b gibt, kann man Paare bilden:\[a^3\cdot b^3=(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)=(a\cdot b)^3\]
gleiche Basis:\[a^n \cdot a^m=a^{(n+m)}\]
\[a^2\cdot a^3=(a\cdot a)\cdot (a\cdot a\cdot a)\]\[=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^5=a^{2+3}\]
\[(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}\]
\[(a^2)^3=(a\cdot a)^3\]\[=(a\cdot a)\cdot (a\cdot a)\cdot (a\cdot a)=a^6\]
\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]
\[1=a^0=a^{n+(-n)}=a^n\cdot a^{-n}\]Dividieren durch \(a^n\):\[\frac{1}{a^n}=a^{-n}\]
\[\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\]
\[\sqrt[n]{b^n}=b=b^1=b^{\frac{n}{n}}\]\[=b^{n\cdot \frac{1}{n}}=(b^{n})^{\frac{1}{n}}\]Mit \(a=b^n\):\[\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\]
\[\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\]
\[\frac{a^n}{a^m}=a^n\cdot \frac{1}{a^m}=a^n\cdot a^{-m}=a^{n-m}\]
Man sieht: das Ziehen der m-ten Wurzel kann als Potenzieren mit dem Kehrwert von m gleichgesetzt werden. Das erleichtert viele gemischte Rechnungen mit Potenzen und Wurzeln enorm.
Noch eine Anmerkung bzw. Warnung: die Regeln gelten nur, wenn Potenzen multipliziert oder dividiert werden! Nicht beim Addieren oder Subtrahieren!!!
\(a^n\pm b^n\ne (a\pm b)^n\)
\(a^n\pm a^m\ne (a)^{n\pm m}\)
Bruchzahlen als Exponent
Bisher haben wir nur natürliche Zahlen als Exponenten betrachtet. Mit den vorgestellten Rechenregaln kann man aber ziemlich einfach zeigen, dass auch Brüche als Exponenten erlaubt sind:\[a^{\frac{n}{m}}=a^{n\cdot \frac{1}{m}}=\sqrt[m]{a^n}\]\(a^{\frac{n}{m}}\) ist die m-te Wurzel von \(a^n\); also die Zahl, die m mal mit sich selbst multipliziert \(a^n\) ergibt.
Ohne weiter darauf eingehen zu wollen, kann man durch Grenzwertbetrachtungen zeigen, dass auch irrationale Zahlen Exponenten sein können. Zudem zeigt die vierte Regel, dass auch negative Zahlen erlaubt sind. Mithin können alle Reellen Zahlen als Exponenten fungieren.