In diesem Beitrag werden die Grundrechenarten der natürlichen Zahlen vorgestellt: Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division. Potenzieren und Wurzelziehen werden in einem weiterführenden Beitrag vorgestellt.
Einleitung
In der Mathematik gab es ursprünglich zwei grundlegende Bereiche: die (Elementar)Geometrie (Lehre von den geometrischen Formen) und die Algebra (Lehre von den Rechenoperationen mit Zahlen).
Für die Algebra sind die natürlichen Zahlen, die sich direkt aus dem Zählen von Gegenständen ergeben, besonders wichtig. Zwei Themen sind es, um die wir uns in diesem Turorium besonders kümmern werden:
- Was sind natürliche Zahlen?
- Welche Grundrechenoperationen gibt es?
Natürliche Zahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen enthält die Elemente
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 usw.
Natürliche Zahlen heißen so, weil sie das normale („natürliche“) Zählen ermöglichen.
Auch wenn es uns schwerfällt, das zu akzeptieren: natürliche Zahlen sind keineswegs selbstverständlich. Sie entstanden als Abstraktion aus der Beobachtung, dass drei Äxte und drei Menschen etwas gemeinsam haben, obwohl ein Mensch und eine Axt etwas völlig Verschiedenes sind.
Zu jedem der drei Menschen gibt es genau eine Axt. Die Anzahl der Äxte und der Menschen ist gleich. Ähnliche Beobachtungen machte man bei fünf Schafen und fünf Hirten, zwei Männern und zwei Frauen oder beim Vergleich irgendwelcher anderer gleich großer Mengen. Die Idee der Zahl war geboren…
Alle natürlichen Zahlen entstehen beim Zählen; d.h. beim ständig wiederholten Hinzufügen von 1 zur kleinsten natürlichen Zahl:
0+1=1; 1+1=2; 2+1=3; 3+1=4 usw.
So entsteht eine unendliche Reihe von Zahlen. Oder anders gesagt: es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, denn wie groß eine natürliche Zahl auch sein mag, man kann immer noch eine 1 hinzuzählen.
Übrigens:
Es herrscht Uneinigkeit in der Mathematikergilde, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht. Normalerweise wird sie dazu gezählt, es gibt aber auch Lehrbücher und Gelegenheiten, wo dies nicht der Fall ist.
Wenn die Null ausgeschlossen ist, wird die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Symbol ℕ bezeichnet.
Wenn die Null dazu gehört, wird das Symbol ℕ0 benutzt.
Überblick: Grundrechenarten
Zahlen sind nicht nur zur Beschreibung der Größe einer Menge gut, man kann auch mit ihnen rechnen. Allen Rechenmethoden liegen vier Grundrechenarten zugrunde:
- Addition (Hinzuzählen; ‚+‘ plus)
- Multiplikation (Malnehmen; ‚⋅‘ mal)
- Subtraktion (Abziehen; ‚-‚ minus)
- Division (Teilen; ‚:‘ durch)
Addition und Multiplikation leiten sich direkt vom Zählen ab. Subtraktion und Division sind dann etwas komplizierter. Wir werden es sehen…
Addition
Wir haben bereits das Addieren einer Eins als Sonderfall der Addition kennengelernt.
4 + 1 = 5
Jede natürliche Zahl a kann als Summe von a Einsen betrachtet werden.
a = 1+1+1+… (a mal)
4 = 1+1+1+1
Addieren ist nichts anderes als mehrere „Einsen“ in einem Rutsch zu einer Zahl hinzuzufügen.
4+2 = 4+1+1
= 5+1 = 6
- Die Addition a+b zweier natürlicher Zahlen a und b ist dasselbe wie b-mal eine Eins zu a hinzuzuzählen.
- a und b heißen Summanden, das Ergebnis der Addition wird Summe genannt.
Multiplikation
Es kommt oft vor, dass man die gleiche Zahl mehrmals hintereinander addieren muss.
Beispiel 1: Du kaufst Dir 3 (sehr große) Eisbällchen zu 2 Euro, also insgesamt für 2+2+2=6 Euro
Bei 3 Eisbällchen ist es noch kein Problem, 2+2+2 hinzuschreiben. Aber beim Einkauf vom 100 Eisbällchen für die ganze Klasse…? Das sähe dann wie im Beispiel aus.
Beispiel 2:
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2
Mathematiker sind faule Leute. Hundert mal 2+ hinzuschreiben ist ihnen zu zeitraubend. Deshalb haben sie eine abkürzende Schreibweise erfunden. Statt hundert mal 2+ schreiben sie
100 ⋅ 2
mit dem kleinen Malpunkt in der Mitte.
Ein paar weitere Beispiele für die Multiplikation:
3 ⋅ 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5 ⋅ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
1 ⋅ 6 = 6
0 ⋅ 6 = 0
- Bei der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen a und b (a⋅b) werden b Einsen a mal addiert.
- a und b werden Faktoren und das Ergebnis a⋅b Produkt genannt.
Subtraktion
Die Addition kann als das Hinzufügen einer Gruppe von Gegenständen zu einer bestehenden Gruppe interpretiert werden.
Beispiel: Zu drei Briefen bekomme ich zwei hinzu und habe dann fünf Briefe
+ =
Man kann aber auch Gegenstände verlieren, sodass man weniger hat. Das nennt man Subtraktion. Das Subtraktionszeichen ist „-“ (gesprochen: minus)
Beispiel: Von fünf Briefen werfe ich 2 in den Papierkorb und habe dann noch drei Briefe – =
Ein paare Beispiele für Subtraktionen:
7 – 4 = 3 []
6 – 3 = 3 []
8 – 7 = 1 []
Etwas flapsig gesagt: Bei der Subtraktion werden keine Einsen hinzu gefügt, sondern weg genommen!
- Bei der Subtraktion zweier natürlicher Zahlen a und b werden b Einsen von a weggenommen.
- a wird Minuent, b Subtrahent und das Ergebnis a–b Differenz genannt.
Division
Bei der Division geht es um die Aufteilung einer Anzahl von Dingen in gleich große Gruppen. Schauen wir uns die Situation anhand eines Beispiels genauer an:
Sechs Gummibären sollen auf 3 Kinder zu gleichen Teilen verteilt werden. Wieviel bekommt jedes Kind?
Lösung:
Nacheinander bekommt jedes Kind jeweils ein Gummibärchen; solange bis keins mehr im Vorrat ist. Am Ende hat jedes Kind zwei Gummibären; es bleibt kein Gummibärchen übrig.
Ergebnis: wenn man 6 Gummibären auf 3 Kinder verteilt, bekommt jedes 2 Bären.
Ob Gummibären, Smart Phones oder Elefanten: immer wenn man 6 Dinge zu gleichen Teilen auf 3 Gruppen aufteilt, bekommt jede Gruppe 2 Dinge. Als Formel geschrieben:
6 : 3 = 2
Noch ein paar Beispiele für Divisionen:
8 : 2 = 4
8 Dinge werden auf 2 Gruppen aufgeteilt; jede bekommt 4 Dinge
5 : 1 = 5
5 Dinge werden auf eine Gruppe aufgeteilt; die Gruppe bekommt alle fünf Dinge
7 : 0 = ????
Dinge auf keine Gruppe aufzuteilen, ist sinnlos; Division durch Null ist verboten
Übrigens:
Division ist so etwas wie die Umkehr der Multiplikation:
3 ⋅ 2 = 6 bedeutet: 3 Zweiergruppen werden vereinigt zu einer Großgruppe mit 6 Dingen
6 : 3 = 2 bedeutet: eine Großgruppe mit 6 Dingen wird auf 3 Zweiergruppen aufgeteilt.
Division mit Rest
Im Gummibären-Beispiel blieb kein Gummibärchen beim Verteilen übrig. Was
passiert, wenn wir nicht 6 sondern 7 Bärchen auf 3 Kinder verteilen?
Dann bleibt ein Rest übrig; in diesem Fall ein Gummibärchen.
Ob Gummibären, Smart Phones oder Elefanten: immer wenn man 7 Dinge zu gleichen Teilen auf 3 Gruppen aufteilt, bekommt jede Gruppe 2 Dinge; ein Ding bleibt übrig. Als Formel geschrieben:
7 : 3 = 2 Rest 1
- Die Division a : b ist die Verteilung von a Dingen auf b gleich große Gruppen.
- Bei natürlichen Zahlen kann bei der Division ein Rest übrig bleiben.
- a wird Dividend, b Divisor und das Ergebnis a:b Quotient genannt.
Schlussbemerkung
Wir haben gesehen, dass Addition, Multiplikation und Subtraktion natürlicher Zahlen eigentlich nichts anderes ist als das Hinzufügen bzw. Wegnehmen von Einsen. Und Division ist im Grunde nur eine Aufteilung einer großen Gruppe von Einsen in gleich große kleinere Gruppen.
Mit dieser Sichtweise kann man viele Gesetzmäßigkeiten beim Rechnen mit Zahlen verstehen.
Diese Art von Rechnen kann aber sehr zeitaufwändig sein. Kein Mensch will 45 + 56 durch schrittweises Hinzuzählen von 56 Einsen zu 45 ausrechnen. Und das Ergebnis von 8 ⋅ 6 durch Abzählen der entsprechenden Einsen zu ermitteln, macht auch keinen Spaß.
Deshalb bleibt einem nichts anderes übrig, als häufige Additionen oder Multiplikationen auswendig zu lernen. Oder gewisse Tricks beim Ausrechnen zu benutzen. Oder einen Taschenrechner zu Rate zu ziehen…
Es ist wie so häufig in der Mathematik: im Grunde sind viele mathematische Methoden sehr einfach. Aber ihre Umsetzung in das reale Rechnen kann ziemlich aufwändig sein. Zum Glück muss man heutzutage nicht mehr auf Tabellenwerke und Rechenschieber zurückgreifen. Computer und Co haben da ihre Vorteile…
Zusammenfassung
Addieren einer natürlichen Zahl b zur Zahl a bedeutet, dass b Einsen zu a hinzugefügt werden. a und b heißen Summanden, das Ergebnis heißt Summe.
Beispiel: a = 2, b = 3
2 + 3 = 2 + 1 + 1 + 1 = 5
Subtraktion einer natürlichen Zahl b von der Zahl a bedeutet, dass b Einsen von a weggenommen werden. a heißt Minuend, b Subtrahend und das Ergebnis heißt Differenz (a – b).
Beispiel: a = 5, b = 3
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
5 – 3 = 2
Multiplikation einer natürlichen Zahl a mit der Zahl b bedeutet, dass b a-mal addiert wird. a und b heißen Faktoren, das Ergebnis heißt Produkt (a ⋅ b).
Beispiel: a = 3, b = 2
3 ⋅ 2 = 2 + 2 + 2 = 6
Division einer natürlichen Zahl a durch die Zahl b bedeutet, dass a Einsen in Gruppen zu je b Mitglieder aufgeteilt werden. a heißt Dividend, b Divisor und das Ergebnis heißt Quotient (a : b).
Beispiel: a = 6, b = 3
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
= [1+1] + [1+1] + [1+1]