Erweitern und Kürzen ist für das Rechnen mit Brüchen sehr wichtig. Widmen wir uns zunächst dem Erweitern:
Nehmen wir zum Beispiel den Bruch \(\frac{1}{2}\), anschaulich also eine Kuchenhälfte. wenn ich die Kuchenhälfte ihrerseits in 3 gleiche Stücke schneide, bekomme ich 3 Stücke, deren Größe nur noch ein Drittel der Hälfte beträgt. Auf den ganzen Kuchen bezogen sind die einzelnen Stücke nur noch \(\frac{1}{6}\) groß. Es gilt also: \(\frac{1}{2}=3 \cdot\frac{1}{6}=\frac{3}{6}\).
Man kann dies auch allgemeiner formulieren: Wenn man ein Stück der Größe \(\frac{1}{n}\) hat und es in m gleich große Stücke teilt, bekommt man \(m\cdot\frac{1}{n\cdot m}\)Stücke. Dies ist die Essenz des Erweiterns von Brüchen: Wenn man bei einem Bruch Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor multipliziert, bleibt die Größe des Bruchs unverändert.
Statt Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren, kann man beide auch durch die gleiche Zahl teilen, ohne die Größe des Bruchs zu ändern. Das nennt man dann Kürzen!