Um was geht es?
Funktionen spielen in der Mathematik eine extrem wichtige Rolle. Sie beschreiben die Abhängigkeit einer Variablen von einer (oder mehreren) anderen Variablen. Zum Beispiel die Fläche eines Kreises (F) in Abhängigkeit von seinem Radius (r):
Formel für die Fläche eines Kreises: \[F=\pi r^2\]
Mit dieser Formel kann man für jeden vorgegebenen Wert des Radius die Kreisfläche ausrechnen.
In der Mathematik benutzt man gerne abgekürzte Schreibweisen. Deshalb sind folgende Aussagen äquivalent:
- Die Fläche ist eine Funktion des Radius.
- Die Fläche hängt vom Radius ab.
- \(F=F(r)\)
Dies sagt nur aus, dass die Kreisfläche (irgendwie) vom Radius abhängt. Es sagt noch nicht, wie sie das tut. Das wird erst durch die Flächenformel erreicht. Nur mit dieser konkreten Formel kann die Kreisfläche aus dem Radius ermittelt werden.
Achtung:
Funktionen sind eigentlich etwas allgemeiner definiert: Wenn man zwei Mengen hat und jedes Element der einen Menge (Definitionsmenge) mit einem Element der anderen Menge (Wertemenge) gepaart (zugeordnet) wird, nennt man diese Zuordnung eine Funktion. Fasst man alle möglichen Radiuswerte eines Kreises als Definitionsmenge und die möglichen Flächenwerte als Wertemenge auf, passt diese Definition auch auf unser Beispiel, bei dem eine Funktion durch die Funktionsgleichung beschrieben wird.
Eine wichtige Voraussetzung bei solchen Zuordnungen ist, dass zu jedem Element der Definitionsmenge nur ein einziges Element der Wertemenge gehört. Bei der Kreisfläche ist das gegeben: es gibt nicht zwei verschiedene Flächenwerte für einen Radius. Umgekehrt darf es aber für ein Element der Wertemenge mehrere Elemente der Definitionsmenge geben. Wenn man in der Formel für die Kreisfläche auch negative r-Werte zulassen würde, hätte man die gleiche „Fläche“ für +r und -r, denn das Vorzeichen verschwindet, wenn r quadriert wird.
Die Variable der Definfitionsmenge nennt man unabhängige Variable; denn ihre Werte werden vorgegeben. Aus ihnen wird der Wert der abhängigen Variablen (Wertemenge) ermittelt. In der Praxis ist es übrigens mehr oder weniger willkürlich, welche Variable als unabhängig betrachtet wird. Statt zu fragen, welche Fläche ein Kreis bei vorgegebenem Radius hat, kann man auch fragen, welcher Radius gewählt werden muss, um eine bestimmte Fläche zu bekommen. Das entspricht dem Auflösen der Funktionsgleichung nach dem Radius. Man spricht dann von der Umkehrfunktion (aus F=F(r) wird r=r(F)):
\[r=\sqrt{\dfrac{F}{ \pi}}\]
Funktionen können als Tabelle, Gleichung oder Graph dargestellt werden
In unserem Beispiel haben wir die Kreisflächenfunktion durch die Funktionsgleichung dargestellt. Es gibt aber insgesamt drei Wege, eine Funktion konkret zu beschreiben: als Tabelle, Gleichung oder Graph (Zeichnung in einem Koordinatensystem).
Funktionen als Tabelle:
Hat man von der abhängigen und der unabhängigen Variablen nur eine begrenzte Anzahl von Werten, kann man die Wertepaare in eine Tabelle schreiben. Beispielsweise hängt die Einwohnerzahl Deutschlands vom Jahr ab, in dem sie ermittelt wurde. In einer Tabelle können die Wertepaare aufgelistet werden, wodurch die Abhängigkeit (der funktionale Zusammenhang) konkret beschrieben ist. Auch diskrete Messwerte einer physikalischen Versuchsreihe werden normalerweise als Tabelle dargestellt.
| Jahr | Einwohner [Mio] |
|---|---|
| 2017 | 82,792 |
| 2018 | 83,019 |
| 2019 | 83,167 |
Funktionen als Gleichung:
Wenn man nicht nur einzelne (Mess-)Werte zur Verfügung hat, sondern einen allgemeinen Zusammenhang zweier Variablen in Form einer Gleichung kennt, ist dies die beste Form der Funktionsdarstellung (Funktionsgleichung). Der große Vorteil: für jeden beliebigen Wert der unabhängigen Variablen kann man den Wert der abhängigen Variablen errechnen – anders als in einer Tabelle, in der nur eine begrenzte Anzahl von Werten vorhanden sein kann. Unsere Flächenformel des Kreises ist ein Beispiel.
\[F=\pi r^2\]
Funktionen als Graph:
Sehr nützlich ist die Darstellung einer Funktionsgleichung oder einer Tabelle als Graph – also einer Zeichnung des Funktionsverlaufs in einem Koordinatensystem. Eine graphische Darstellung der Funktion kann leicht überblickt werden und Funktionseigenschaften fallen einem buchstäblich „ins Auge“. Wie man solche Graphen erzeugt, wird im Folgenden gezeigt.
Graphische Darstellung von Funktionen
Aufbau eines Koordinatensystems:
Funktionen werden in einem Koordinatensystem dargestellt: Von einem (willkürlich gewählten) Ursprung aus wird eine Achse nach rechts gezeichnet, auf der in regelmäßigen Abständen Zahlen aufgetragen werden. Diese Achse wird im Allgemeinen positive x-Achse genannt. Nach links wird die gleiche Achse eingezeichnet, wobei hier negative Zahlen eingetragen werden (negative x-Achse). Ganz gleich verfährt man mit einer positiven bzw. negativen y-Achse, die nach oben und unten eingezeichnet und mit positiven bzw. negativen Zahlen versehen werden.
Hat man in einer Funktionstabelle für die unabhängige Variable (x) eine 3 und für die abhängige Variable (y) eine 4 stehen, kann man diese Werte als Punkt in das Koordinatensystem folgendermaßen eintragen: Man trägt eine senkrechte Gerade durch die 3 auf der x-Achse ein. Auf der y-Achse tut man dasselbe, indem eine waagerechte Gerade durch die 4 eingezeichnet wird. Der Schnittpunkt der beiden Geraden repräsentiert dann den Punkt (3/4): Man geht vom Ursprung 3 Schritte nach rechts und 4 nach oben und gelangt so beim Punkt (3/4) an.
In der Beispielgraphik werden noch drei weitere Punkte gezeigt, deren x-Koordinaten -4, -5 und 5 und deren y-Koordinaten 5, -4 und -3 sind, also die Punkte (-4/5), (-5/-4) und (5/-3).
Um eine Funktionsgleichung darzustellen, setzt man verschiedene x-Werte in die Gleichung ein und rechnet sich die dazugehörigen y-Werte aus. Man erhält auf diese Weise eine Reihe von Funktionspunkten, die in das Koordinatensystem eingetragen werden. Die Punkte können dann durch eine Linie miteinander verbunden werden, so dass man eine durchgezogene Funktionskurve erhält. Am Beispiel der Funktion y = 2x+1wird dies in der animierten Beispielgraphik gezeigt.
Die Form der Funktionskurve ist unmittelbar erkennbar; in diesem Fall eine ansteigende Gerade. Andere Funktionen können ein Maximum oder Minimum zeigen, sie können periodisch sein, Unendlichkeitsstellen haben etc. Wichtige elementare Funktionen werden wir uns in einem anderen Tutorium genauer anschauen.
