Anschaulich gesprochen bedeutet Stetigkeit, dass man Funktionskurven in einem Rutsch ohne Abheben des Bleistifts nachzeichnen kann, solange sich ihre unabhängige Variable im Definitionsbereich befindet. Bei vielen Funktionen ist das für den ganzen Definitionsbereich gegeben. y = x², y = ex oder sin(x) sind solche Beispiele. Diese Funktionen sind für alle reele Zahlen x definiert (die Funktionsgraphen können im Beitrag Elementare Funktionen bewundert werden).
In der Mathematik muss die Vorschrift „in einem Rutsch zeichnen“ allerdings präzisiert werden. Denn es gibt Funktionen, bei denen man auf den ersten Blick nicht entscheiden kann, ob der Bleistift abgehoben werden muss.
Zunächst muss betont werden, dass sich Steigkeit immer auf einen einzigen Wert der Definitionsmenge bezieht. Erst wenn alle Werte der Definitionsmenge stetig sind, kann man von einer im Ganzen stetigen Funktion sprechen.
Eine Funktion ist an der Stelle x0 stetig, wenn mit einem immer stärkeren Näherrücken des x-Wertes an x0 heran gleichzeitig der y-Wert sich dem Wert y0 = y(x0) nähert. Oder anders gesagt: wenn x von x0 nur sehr wenig abweicht, weicht auch y von y0 nur sehr wenig ab. Oder in mathematischer Sprache:
Wenn |x – x0| immer kleiner wird, wird auch |y – y0| immer kleiner.
„| … |“ bedeutet, dass der Absolutbetrag der Differenz gemeint ist, dass also das Vorzeichen der Differenz weggelassen wird; Beispiel: |5-2| = |2-5| = 3.
Sind Funktionen an der Stelle x0 nicht stetig, liegt meist entweder ein Sprung oder eine Unendlichkeitsstelle vor. Im Detail kann die Stetigkeitsfrage in solchen Fällen recht schwierig werden. Das sind aber Spezialfälle, die hier nicht behandelt werden sollen. Wer will kann auf mathebibel.de mehr und Exakteres zur Frage der Stetigkeit finden.