Wir kommen nun zur Exponentialfunktion, die zur Beschreibung von Wachstumsprozessen aller Art wichtig ist. Sie lautet:\[y = y(x) = a^x\] wobei a eine konstante Zahl ist.
Achtung: Im Gegensatz zur Potenzfunktion steht x jetzt im Exponenten!
- Potenzfunktion: x hoch Zahl
- Exponentialfunktion: Zahl hoch x
Die Funktionsplots (Abb. 4) sehen denen der Potenzfunktion auf den ersten Blick sehr ähnlich. Im ersten Graph sind die Plots für die a-Werte 2, 3,5 und der Euler’schen Zahl e gezeigt (später etwas mehr zur Zahl e). Es gibt aber wichtige Unterschiede zur Potenzfunktion:
- Die Funktionskurven für verschiedene a-Werte schneiden sich bei x=0, nicht x=1.
- Die Funktionskurven erreichen niemals die Null; es gibt also keinen zweiten Schnittpunkt wie bei den Potenzfunktionen (dort gab es bei x=0 einen zweiten Schnittpunkt).
In Abb. 5 wird eine weitere Eigenschaft der Exponentialfunktion gezeigt: Wenn a=1, ist die Funktionskurve eine Parallele zur x-Achse im Abstand 1 (y ist immer gleich 1). Bei a<1 wächst die Exponentialfunktion nicht, sondern sie fällt! Beim Vergleich von a=2 mit a=0,5=1/2 fällt auf, dass die beiden Funktionskurven spiegelbildlich zur y-Achse sind. Das gilt für alle Funktionskurvenpaare mit a bzw. 1/a als Konstante.
Exponentialfunktionen sind erstaunliche „Wesen“. Die Standardgeschichte zur Illustration ihrer Wachstumseigenschaften ist die Anzahl Reiskörner auf den 64 Feldern eines Schachbretts, wenn man auf das erste Feld ein Reiskorn legt und dann auf jedes nächste Feld doppelt so viel wie auf dem aktuellen Feld. Dies entspricht der Funktion Reiskörner=2n-1 (n: Nummer des Feldes). Man endet auf Feld 64 bei fast so vielen Reiskörnern wie es Sterne im gesamten Universum gibt (ca. 1019)!
Noch eine Anmerkung zur Euler’schen Zahl e. Sie ist eine der zentralen Zahlen der Mathematik, ist irrational (nicht durch einen Dezimalbruch darstellbar) und beträgt ca. 2,718… (wer’s genauer wissen will, schaue hier nach). Die merkwürdige Zahl ergibt sich u.a. aus der Zinseszins-Rechnung und ist mindestens so wichtig wie die Kreiszahl π (gesprochen „pi“; der Buchstabe p des griechischen Alphabets).