Differenzierbarkeit bezieht sich wie Stetigkeit immer auf eine Stelle x0 des Definitionsbereichs einer Funktion (siehe auch den Beitrag Differentialrechnung – ein Überblick). Differenzierbarkeit an der Stelle x0 heißt, dass der Grenzwert
\[\lim_{{x} \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
existiert, also berechnet werden kann und nicht unendlich ist. Wichtig: der Grenzwert muss – ähnlich wie bei der Stetigkeit – von links und rechts existieren und gleich sein. Dabei gilt: ist eine Funktion an der Stelle x0 differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Umgekehrt gilt das nicht; ein Beispiel zeigt Abb.5:
Man kann sich der Stelle x0 von beiden Seiten nähern und bekommt den gleichen Funktionswert; die Funktion ist bei x0 stetig. Die Steigung ist aber links und rechts von x0 unterschiedlich (negativ bzw. positiv) und ändert sich abrupt an der Stelle x0; die Funktion ist deshalb bei x0 nicht differenzierbar.