Viele Aufgaben der Differentialrechnung (und der damit verwandten Integralrechnung) können relativ einfach gelöst werden, wenn man mit Differentialquotienten und Differentialen rechnet. Doch Vorsicht: Differentiale sind Eigenschaften der Tangente, nicht der Funktion, an der die Tangente angelegt wird!
Ein Beispiel für das Rechnen mit Differentialen ist die Kettenregel für die Ableitung einer Funktion y(z(x)):
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx}\]
Hier wurde der Quotient dy/dx erweitert um dz. Das ist in Ordnung, weil
\(\frac{dz}{dx}=m_{t_z}\) (\(m_{t_z}\): Steigung der Tangente an der Kurve z(x)). Weil dx und dy endliche Größen sind, darf man nach dx auflösen:
\(dx=\frac{dz}{m_{t_z}}\)
Einsetzen in \(\frac{dy}{dx}\) ergibt
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz} \cdot m_{t_z}=\frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx}\]
Nochmals sei betont: es wurde über die Tangentensteigung argumentiert, wodurch die Differentialen dx und dy von Null verschieden sind (ihr Quotient muss gleich der Tangentensteigung sein, ist ansonsten aber keinen Beschränkungen unterlegen).
Weitere Beispiele für Rechenregeln von Differentialen:
- d(x+y) = dx + dy
- d(k·x) = k·dx (k: Konstante)
- d(x·y) = x·dy+y·dx
- d(xn) = n·xn-1·dx
In der Anwendung von Differential- und Integralrechnung in Physik, Chemie etc. werden wir immer wieder auf das Rechnen mit Differentialen zurück kommen (bitte nicht als Drohung verstehen…).